Modulo di funzioni complesse
La faccio breve...non ho proprio capito come si calcola il modulo di una "funzione complessa" (perdonatemi il termine se non è appropriato...comunque intendo una funzione dove compare l'unità immaginaria $i$). In particolare, mi capita molto spesso di dover trovare il modulo al quadrato (di trasformate di Fourier), ecco due esempi:
$X(f)=(1/e)*e^(-i10pif)/(1/5+i2pif)$ e il modulo al quadrato risulta: $(1/e^2)/((1/5)^2+(4pi^2f^2))$
$Y(f)=sinc(f)(e^(-i3pif)+2e^(-i5pif))$ e il modulo al quadrato risulta $sinc^2(f)(5+4cos(2pif))$
Sembra come che nel primo caso ignori (come mi sembrerebbe in teoria giusto...) gli esponenziali complessi...mentre nel secondo caso invece ne tenga conto visto che salta fuori un coseno. Ma come ho detto evidentemente non ho capito proprio la procedura.
Grazie anticipatamente del vostro aiuto!
$X(f)=(1/e)*e^(-i10pif)/(1/5+i2pif)$ e il modulo al quadrato risulta: $(1/e^2)/((1/5)^2+(4pi^2f^2))$
$Y(f)=sinc(f)(e^(-i3pif)+2e^(-i5pif))$ e il modulo al quadrato risulta $sinc^2(f)(5+4cos(2pif))$
Sembra come che nel primo caso ignori (come mi sembrerebbe in teoria giusto...) gli esponenziali complessi...mentre nel secondo caso invece ne tenga conto visto che salta fuori un coseno. Ma come ho detto evidentemente non ho capito proprio la procedura.
Grazie anticipatamente del vostro aiuto!
Risposte
Ma conosci la definizione di modulo di un numero complesso? Se [tex]$z=x+iy$[/tex] allora [tex]$|z|=...$[/tex]?
Certo: $|z|=sqrt(x^2+y^2)$
Ma non capisco come fare ad applicarla a funzioni del genere dove non riesco a separare parte immaginaria e parte reale. Pensavo bastasse prendere in considerazione fattore per fattore ma no...
Ho molte perplessità soprattutto sul secondo esempio che ho riportato.
Ma non capisco come fare ad applicarla a funzioni del genere dove non riesco a separare parte immaginaria e parte reale. Pensavo bastasse prendere in considerazione fattore per fattore ma no...
Ho molte perplessità soprattutto sul secondo esempio che ho riportato.
Forse non sai che [tex]$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$[/tex]
Ovviamente so pure quello...eppure non mi è chiaro. Prendiamo il secondo esempio:
$sinc(f)(e^(-i3pif)+2e^(-i5pif))=sinc(f)e^(-i3pif)+2sinc(f)e^(-i5pif)$.
Ogni esponenziale è un numero complesso no? E il coefficiente della $e$ non ne rappresenta modulo? Quindi il modulo di $sinc(f)e^(-i3pif)$ è $sinc(f)$ mentre il modulo di $2sinc(f)e^(-5pif)$ è $2sinc(f)$. E poi?
Nel primo invece mi sembrava più logica la cosa...l'esponenziale complesso al numeratore ha modulo 1, il numero complesso al denominatore applichi la def e $1/e$ è un numero reale.
Aiuto
$sinc(f)(e^(-i3pif)+2e^(-i5pif))=sinc(f)e^(-i3pif)+2sinc(f)e^(-i5pif)$.
Ogni esponenziale è un numero complesso no? E il coefficiente della $e$ non ne rappresenta modulo? Quindi il modulo di $sinc(f)e^(-i3pif)$ è $sinc(f)$ mentre il modulo di $2sinc(f)e^(-5pif)$ è $2sinc(f)$. E poi?
Nel primo invece mi sembrava più logica la cosa...l'esponenziale complesso al numeratore ha modulo 1, il numero complesso al denominatore applichi la def e $1/e$ è un numero reale.
Aiuto

Benedetto figliolo:
[tex]$|X(f)|^2=\left|\frac{1}{e}|^2\cdot\frac{|e^{-i 10\pi f}|^2}{\left|\frac{1}{5}+i2\pi f\right|^2}=\frac{1}{e^2}\cdot\frac{1}{1/25+2\pi^2 f^2}$[/tex]
Per il secondo, stai dicendo una cosa falsa: non è vero che [tex]$|z+w|^2=|z|^2+|w|^2$[/tex] mentre la regola corretta è [tex]$|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\mathrm{Re}(z\bar{w})$[/tex], per cui
[tex]$|Y(f)|^2=\mathrm{sinc}^2(f)\cdot\left[|e^{-3i\pi f}|^2+|2e^{-i\pi f}|^2+2\mathrm{Re}(e^{-3i\pi f}\cdot 2 e^{5i\pi f}))\right]=\mathrm{sinc}^2(f)\cdot\left[5+2\mathrm{Re}(2e^{2i\pi f})\right]=\mathrm{sinc}^2(f)\cdot\left[5+4\cos(2\pi f)\right]$[/tex]
[tex]$|X(f)|^2=\left|\frac{1}{e}|^2\cdot\frac{|e^{-i 10\pi f}|^2}{\left|\frac{1}{5}+i2\pi f\right|^2}=\frac{1}{e^2}\cdot\frac{1}{1/25+2\pi^2 f^2}$[/tex]
Per il secondo, stai dicendo una cosa falsa: non è vero che [tex]$|z+w|^2=|z|^2+|w|^2$[/tex] mentre la regola corretta è [tex]$|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\mathrm{Re}(z\bar{w})$[/tex], per cui
[tex]$|Y(f)|^2=\mathrm{sinc}^2(f)\cdot\left[|e^{-3i\pi f}|^2+|2e^{-i\pi f}|^2+2\mathrm{Re}(e^{-3i\pi f}\cdot 2 e^{5i\pi f}))\right]=\mathrm{sinc}^2(f)\cdot\left[5+2\mathrm{Re}(2e^{2i\pi f})\right]=\mathrm{sinc}^2(f)\cdot\left[5+4\cos(2\pi f)\right]$[/tex]

Grazie ciampax!