Modulo della somma di numeri complessi
Buongiorno, chi saprebbe spiegarmi come ricavare il modulo della somma di due numeri complessi? Per esempio se avessi $ |z+iz|^2 $ cosa dovrei fare?
Risposte
$|z(1+i)|^2=|z|^2 |1+i|^2$
Il modulo di un prodotto di numeri complessi è il prodotto dei moduli. Puoi vederlo immediatamente con la formula di Eulero. In questo caso:
\[ \left | z + iz \right|^2 = \left | z \left (1 + i \right) \right|^2 = |z|^2 \left | 1 + i \right |^2 = zz^* (1 - i) (1 + i) = 2 z z^* \]
avendo indicato con \(z^*\) il complesso coniugato di \(z\) ed avendo sfruttato la proprietà che il modulo quadro di un qualunque numero complesso è il prodotto di esso con il suo complesso coniugato.
\[ \left | z + iz \right|^2 = \left | z \left (1 + i \right) \right|^2 = |z|^2 \left | 1 + i \right |^2 = zz^* (1 - i) (1 + i) = 2 z z^* \]
avendo indicato con \(z^*\) il complesso coniugato di \(z\) ed avendo sfruttato la proprietà che il modulo quadro di un qualunque numero complesso è il prodotto di esso con il suo complesso coniugato.
"mic999":
$|z(1+i)|^2=|z|^2 |1+i|^2$
Grazie mille, quindi a questo punto $ |1+i|^2=2 $, mentre $ |z|^2=x^2+y^2 $
E se avessi $ |z-3i| $? Devo porre $ z=x+iy $
Quindi $ |z-3i|=sqrt(x^2+(iy-3i)^2) $ giusto?
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