Modulo complessi
Ciao a tutti! La seguente diseq è la seconda di un sistema, con la prima non ho problemi, ne ho con questa tipologia. potreste mostrarmi come risolverlo?
\[ |z- \frac{7}{3}\ |<5 \]
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.
\[ |z- \frac{7}{3}\ |<5 \]
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Se $z=x+iy$, allora $z-7/3=(x-7/3)+iy$ e $|z-7/3|=\sqrt{(x-7/3)^2+y^2}$. Direi che questo già risolve il problema 
Sbaglio?
Sbaglio?
@Giulia: in generale l'equazione $|z-z_0|=a$ rappresenta la circonferenza di centro il punto $z_0$ e raggio $a$. Nel tuo caso, il $<$ indica che dovrai considerare la parte interna a tale circonferenza.
Inoltre, se ho capito bene, stai svolgendo un sistema con coordinate complesse: bene, questo vuol dire che, alla fine, dovrai ottenere una soluzione per via grafica.
P.S.: per curiosità, l'altra equazione/disequazione?
Inoltre, se ho capito bene, stai svolgendo un sistema con coordinate complesse: bene, questo vuol dire che, alla fine, dovrai ottenere una soluzione per via grafica.
P.S.: per curiosità, l'altra equazione/disequazione?
"ciampax":
@Giulia: in generale l'equazione $|z-z_0|=a$ rappresenta la circonferenza di centro il punto $z_0$ e raggio $a$. Nel tuo caso, il $<$ indica che dovrai considerare la parte interna a tale circonferenza.
Inoltre, se ho capito bene, stai svolgendo un sistema con coordinate complesse: bene, questo vuol dire che, alla fine, dovrai ottenere una soluzione per via grafica.
P.S.: per curiosità, l'altra equazione/disequazione?
Eccola:
\( (|z|+Rez)^2(Imz-3Rez+7) >=0 \)
"Plepp":
Se $z=x+iy$, allora $z-7/3=(x-7/3)+iy$ e $|z-7/3|=\sqrt{(x-7/3)^2+y^2}$. Direi che questo già risolve il problema
Avevo già seguito questa strada, ma non mi usciva comunque il risultato....probabilmente sarà un errore di calcolo. Grazie per l'aiuto..
"Giulia.B.":
[quote="ciampax"]@Giulia: in generale l'equazione $|z-z_0|=a$ rappresenta la circonferenza di centro il punto $z_0$ e raggio $a$. Nel tuo caso, il $<$ indica che dovrai considerare la parte interna a tale circonferenza.
Inoltre, se ho capito bene, stai svolgendo un sistema con coordinate complesse: bene, questo vuol dire che, alla fine, dovrai ottenere una soluzione per via grafica.
P.S.: per curiosità, l'altra equazione/disequazione?
Eccola:
\( (|z|+Rez)^2(Imz-3Rez+7) >=0 \)[/quote]
Inoltre mi chiede di calcolare l'area di D (insieme degli z che soddisfan il sistema)...riusciresti a darmi altre delucidazioni per favore?
Devi usare gli integrali o vanno bene semplici considerazioni di carattere geometrico?
"Plepp":
Devi usare gli integrali o vanno bene semplici considerazioni di carattere geometrico?
Niente integrali, solo a livello geometrico
Bene! Posto $\text{Re}z=x$ e $\text{Im} z=y$, la prima disequazione diventa
\[(|z|+x)^2(y-3x+7)\ge 0\]
Poiché si ha sempre $(|z|+x)^2\ge 0$, la disequazione si riduce a
\[(y-3x+7)\ge 0\]
cioè
\[y\ge 3x-7\]
Quindi tutti i punti del piano complesso che ci interessano si trovano "al di sopra" (o meglio, "non al di sotto") della retta $y=3x-7$. Mettendo questo risultato insieme a quanto detto da ciampax, dovrebbe essere semplice
\[(|z|+x)^2(y-3x+7)\ge 0\]
Poiché si ha sempre $(|z|+x)^2\ge 0$, la disequazione si riduce a
\[(y-3x+7)\ge 0\]
cioè
\[y\ge 3x-7\]
Quindi tutti i punti del piano complesso che ci interessano si trovano "al di sopra" (o meglio, "non al di sotto") della retta $y=3x-7$. Mettendo questo risultato insieme a quanto detto da ciampax, dovrebbe essere semplice
"Plepp":
Bene! Posto $\text{Re}z=x$ e $\text{Im} z=y$, la prima disequazione diventa
\[(|z|+x)^2(y-3x+7)\ge 0\]
Poiché si ha sempre $(|z|+x)^2\ge 0$, la disequazione si riduce a
\[(y-3x+7)\ge 0\]
cioè
\[y\ge 3x-7\]
Quindi tutti i punti del piano complesso che ci interessano si trovano "al di sopra" (o meglio, "non al di sotto") della retta $y=3x-7$. Mettendo questo risultato insieme a quanto detto da ciampax, dovrebbe essere semplice
Ok! Il risultato è l'area del cerchio però diviso 2, in quanto la retta taglia la circonferenza a metà
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