Modo più corretto per studiare la convergenza di questa serie numerica
Salve a tutti, mi chiedevo quale fosse il modo più corretto per studiare la convergenza della seguente serie.
$ sum_{n=2}^(\infty) (1-cosn)/(n^3-1) $
Il mio approccio è stato il seguente:
$ sum_{n=2}^(\infty) (1-cosn)/(n^3-1) = sum_{n=2}^(\infty)1/(n^3-1)+sum_{n=2}^(\infty)-cosn/(n^3-1) $
Per quanto riguarda la prima serie: $ 1/(n^3-1)~ 1/n^3 $ quando $ n->\infty $ per cui dato che $ sum_{n=2}^(\infty)1/n^3 $ converge allora anche $sum_{n=2}^(\infty)1/(n^3-1)$ converge.
Per la seconda ho avuto qualche dubbio per capire come procedere. Il primo tentativo è stato questo. Poiché $ -1<=cosn<=1 $, $ -cosn/(n^3-1)<=1/(n^3-1) <= 1/n^3 $ e quindi da qui dedurre la convergenza. Il secondo tentativo invece mi ha portato a considerare: $ sum_{n=2}^(\infty)(-1)^n/(n^3) $ e da qui studiando la serie dei valori assoluti, deduco la convergenza. Come procedo?
$ sum_{n=2}^(\infty) (1-cosn)/(n^3-1) $
Il mio approccio è stato il seguente:
$ sum_{n=2}^(\infty) (1-cosn)/(n^3-1) = sum_{n=2}^(\infty)1/(n^3-1)+sum_{n=2}^(\infty)-cosn/(n^3-1) $
Per quanto riguarda la prima serie: $ 1/(n^3-1)~ 1/n^3 $ quando $ n->\infty $ per cui dato che $ sum_{n=2}^(\infty)1/n^3 $ converge allora anche $sum_{n=2}^(\infty)1/(n^3-1)$ converge.
Per la seconda ho avuto qualche dubbio per capire come procedere. Il primo tentativo è stato questo. Poiché $ -1<=cosn<=1 $, $ -cosn/(n^3-1)<=1/(n^3-1) <= 1/n^3 $ e quindi da qui dedurre la convergenza. Il secondo tentativo invece mi ha portato a considerare: $ sum_{n=2}^(\infty)(-1)^n/(n^3) $ e da qui studiando la serie dei valori assoluti, deduco la convergenza. Come procedo?
Risposte
La stima $\frac{1}{n^3-1} \leq \frac{1}{n^3}$ è falsa, il denominatore del membro di destra è più grande e quindi la frazione al membro di destra è più piccola di quella al membro di sinistra.
Puoi spezzare la serie come hai fatto e studiare, come già hai detto, la convergenza assoluta; in tal caso puoi procedere come hai già fatto maggiorando $|\frac{\cos n}{n^3-1}|=\frac{|\cos n|}{n^3-1} \leq \frac{1}{n^3-1}$ e concludere col criterio del confronto asintotico.
Puoi spezzare la serie come hai fatto e studiare, come già hai detto, la convergenza assoluta; in tal caso puoi procedere come hai già fatto maggiorando $|\frac{\cos n}{n^3-1}|=\frac{|\cos n|}{n^3-1} \leq \frac{1}{n^3-1}$ e concludere col criterio del confronto asintotico.
Chiarissimo, ti ringrazio
Prego! Comunque non esistono modi più o meno corretti, una cosa o è corretta o non lo è 
finché tutti i passaggi sono leciti non c'è problema.
Puoi chiederti se c'è un modo più o meno laborioso, un modo più o meno elegante...credo ce ne siano di molto più eleganti di quello che ti ho proposto, quindi non so se ti ho effettivamente risposto.
finché tutti i passaggi sono leciti non c'è problema.Puoi chiederti se c'è un modo più o meno laborioso, un modo più o meno elegante...credo ce ne siano di molto più eleganti di quello che ti ho proposto, quindi non so se ti ho effettivamente risposto.
Hai risposto perfettamente 
Intendevo capire se fosse corretto o meno il modo utilizzato perché avevo il dubbio che non lo fosse.
Intendevo capire se fosse corretto o meno il modo utilizzato perché avevo il dubbio che non lo fosse.
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