Modello geometrico reali
Sto cercando un modo di effettuare la moltiplicazione tra due numeri reali sulla retta reale usando solo tecniche geometriche.
Premesso che somma e differenza sono abbastanza banali, mi serve anteporre come risultato utile
- il metodo per dimezzare un numero: bisogna ruotare il segmento che unisce l'origine con il punto in questione di 60° e prendere la proiezione di questo sulla retta reale.
- il metodo per moltiplicare un numero reale a con un numero naturale n: si prende il segmento che unisce 0 ad a, e lo si somma a sé stesso n-1 volte.
Per la moltiplicazione mi è venuto in mente di fare così:
\(\displaystyle a=[a]+\left \{ a \right \} \)
\(\displaystyle b=+\left \{ b \right \} \)
tra parentesi quadre indico la parte intera (segmento uguale o multiplo intero dell'unità) e tra parentesi graffe indico la parte frazionaria (segmento più corto dell'unità).
Allora:
\(\displaystyle ab=[a]+[a]\left \{ b \right \}+\left \{ a \right \}+\left \{ a \right \}\left \{ b \right \} \)
I primi 3 addendi posso "calcolarli" geometricamente, l'ultimo in generale no.
\(\displaystyle \left \{ a \right \} \) e \(\displaystyle \left \{ b \right \} \) sono entrambi segmenti più corti dell'unità.
Allora comincio a raddoppiarli entrambi \(\displaystyle n_1 \) volte finché entrambi non hanno sorpassato l'unità.
Avrò ottenuto \(\displaystyle a'=2^{n_1}\left \{ a \right \} \) e \(\displaystyle b'= 2^{n_1}\left \{ b \right \} \)
A questo punto posso continuare la costruzione del segmento prodotto in questo modo (poiché so come dimezzare un numero):
\(\displaystyle \left \{ a \right \}\left \{ b \right \}=\frac{a'b'}{2^{2n_1}}=\frac{[a'][b']}{2^{2n_1}}+\frac{[a']\left \{ b' \right \}}{2^{2n_1}}+\frac{\left \{ a' \right \}[b']}{2^{2n_1}}+\frac{\left \{ a' \right \}\left \{ b' \right \}}{2^{2n_1}} \)
di nuovo il numeratore dell'ultimo addendo non so "calcolarlo", ma posso rifare la stessa cosa ottenendo:
\(\displaystyle \left \{ a' \right \}\left \{ b' \right \}=\frac{a''b''}{2^{2n_2}}=\frac{[a''][b'']}{2^{2n_2}}+\frac{[a'']\left \{ b'' \right \}}{2^{2n_2}}+\frac{\left \{ a'' \right \}[b'']}{2^{2n_2}}+\frac{\left \{ a'' \right \}\left \{ b'' \right \}}{2^{2n_2}} \)
con \(\displaystyle a''=2^{n_2}\left \{ a' \right \} \) e \(\displaystyle b''= 2^{n_2}\left \{ b' \right \} \) e di nuovo solo il numeratore dell'ultimo addendo dovrà essere ancora espanso e così via... (finché una delle due parti frazionarie diventa nulla oppure all'infinito se necessario e se voglio precisione infinita)
Ve ne vengono in mente altri migliori?
Premesso che somma e differenza sono abbastanza banali, mi serve anteporre come risultato utile
- il metodo per dimezzare un numero: bisogna ruotare il segmento che unisce l'origine con il punto in questione di 60° e prendere la proiezione di questo sulla retta reale.
- il metodo per moltiplicare un numero reale a con un numero naturale n: si prende il segmento che unisce 0 ad a, e lo si somma a sé stesso n-1 volte.
Per la moltiplicazione mi è venuto in mente di fare così:
\(\displaystyle a=[a]+\left \{ a \right \} \)
\(\displaystyle b=+\left \{ b \right \} \)
tra parentesi quadre indico la parte intera (segmento uguale o multiplo intero dell'unità) e tra parentesi graffe indico la parte frazionaria (segmento più corto dell'unità).
Allora:
\(\displaystyle ab=[a]+[a]\left \{ b \right \}+\left \{ a \right \}+\left \{ a \right \}\left \{ b \right \} \)
I primi 3 addendi posso "calcolarli" geometricamente, l'ultimo in generale no.
\(\displaystyle \left \{ a \right \} \) e \(\displaystyle \left \{ b \right \} \) sono entrambi segmenti più corti dell'unità.
Allora comincio a raddoppiarli entrambi \(\displaystyle n_1 \) volte finché entrambi non hanno sorpassato l'unità.
Avrò ottenuto \(\displaystyle a'=2^{n_1}\left \{ a \right \} \) e \(\displaystyle b'= 2^{n_1}\left \{ b \right \} \)
A questo punto posso continuare la costruzione del segmento prodotto in questo modo (poiché so come dimezzare un numero):
\(\displaystyle \left \{ a \right \}\left \{ b \right \}=\frac{a'b'}{2^{2n_1}}=\frac{[a'][b']}{2^{2n_1}}+\frac{[a']\left \{ b' \right \}}{2^{2n_1}}+\frac{\left \{ a' \right \}[b']}{2^{2n_1}}+\frac{\left \{ a' \right \}\left \{ b' \right \}}{2^{2n_1}} \)
di nuovo il numeratore dell'ultimo addendo non so "calcolarlo", ma posso rifare la stessa cosa ottenendo:
\(\displaystyle \left \{ a' \right \}\left \{ b' \right \}=\frac{a''b''}{2^{2n_2}}=\frac{[a''][b'']}{2^{2n_2}}+\frac{[a'']\left \{ b'' \right \}}{2^{2n_2}}+\frac{\left \{ a'' \right \}[b'']}{2^{2n_2}}+\frac{\left \{ a'' \right \}\left \{ b'' \right \}}{2^{2n_2}} \)
con \(\displaystyle a''=2^{n_2}\left \{ a' \right \} \) e \(\displaystyle b''= 2^{n_2}\left \{ b' \right \} \) e di nuovo solo il numeratore dell'ultimo addendo dovrà essere ancora espanso e così via... (finché una delle due parti frazionarie diventa nulla oppure all'infinito se necessario e se voglio precisione infinita)
Ve ne vengono in mente altri migliori?
Risposte
Dovresti chiarire bene cosa significa "solo tecniche geometriche", perché normalmente questo significa "con compasso e riga non graduata". Nel tuo messaggio invece parli di "ruotare di 60º", che già non sarebbe permesso.
E' una bella domanda anche per me, la traccia che riporto è questa:
Se comunque non avessi neanche la possibilità di ruotare di 60°, come potrei dimezzare un numero?
Non mi viene in mente altro..
Adopting the geometrical model of the set of real numbers (the real line) show how to construct the numbers ab.
Se comunque non avessi neanche la possibilità di ruotare di 60°, come potrei dimezzare un numero?
Non mi viene in mente altro..
Una traccia interessante... Da dove arriva?
Dimezzare un segmento è una cosa che si impara da bambini: punti il compasso nei vertici con raggio il segmento e tracci le due circonferenze; i punti di intersezione delle circonferenze identificano l'asse del segmento, che passa per il suo centro.
Dimezzare un segmento è una cosa che si impara da bambini: punti il compasso nei vertici con raggio il segmento e tracci le due circonferenze; i punti di intersezione delle circonferenze identificano l'asse del segmento, che passa per il suo centro.
Puoi dimezzare un numero reale a prendendo il punto medio come faceva Euclide
Tracci due circonferenze p e q di raggio a e centro a e 0, tracci il segmento w che unisce le due intersezioni tra p e q
L'insersezione tra w e la retta reale è il numero a/2
Tracci due circonferenze p e q di raggio a e centro a e 0, tracci il segmento w che unisce le due intersezioni tra p e q
L'insersezione tra w e la retta reale è il numero a/2
Vedo che sono stato preceduto
Per la moltiplicazione puoi sfruttare il teorema di Talete
Scegli un segmento unità di misura, PQ. Da P conduci un segmento PA di lunghezza a Sul prolungamento di PQ scegli un punto B tale che QB sia lungo b. Conduci ora da B la parallela a QA, essa interseca il prolungamento di PA in C. Il segmento AC per il teorema di Talete sará lungo ab
Scegli un segmento unità di misura, PQ. Da P conduci un segmento PA di lunghezza a Sul prolungamento di PQ scegli un punto B tale che QB sia lungo b. Conduci ora da B la parallela a QA, essa interseca il prolungamento di PA in C. Il segmento AC per il teorema di Talete sará lungo ab
"Raptorista":
Una traccia interessante... Da dove arriva?
Credo venga da Mathematical Analysis I di Zorich.
Bene, allora con questa tecnica per dimezzare, il resto della costruzione è accettabile?
Sì Weierstress, confermo la provenienza.
Sì Weierstress, confermo la provenienza.
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