[Modelli matematici] Norma infinito su insieme chiusi e densi
Buonasera,
sono giorni che mi scervello su questa tipologia di esercizi: si tratta di dire se un H dato è un sottoinsieme chiuso e denso di C([-1,1]) con la norma infinito.
Ho difficoltà proprio nell'impostazione dell'esercizio pur sapendo la definizione di "sottoinsieme chiuso" e "sottoinsieme denso".
Vi riporto un paio di esempi così magari riuscite a spiegarmi come procedere
H= {f è un polinomio}
H= {f(0)=0}
Grazie in anticipo per la vostra disponibilità
Giulia
sono giorni che mi scervello su questa tipologia di esercizi: si tratta di dire se un H dato è un sottoinsieme chiuso e denso di C([-1,1]) con la norma infinito.
Ho difficoltà proprio nell'impostazione dell'esercizio pur sapendo la definizione di "sottoinsieme chiuso" e "sottoinsieme denso".
Vi riporto un paio di esempi così magari riuscite a spiegarmi come procedere
H= {f è un polinomio}
H= {f(0)=0}
Grazie in anticipo per la vostra disponibilità
Giulia
Risposte
Per norma infinito intendi $||f||_\infty=max_{x\in[-1,1]}f(x)$, giusto?
Se si, sia $J=[-1,1]$; nel il primo esempio si ha che è denso, ma non è mica banale, è un teorema dovuto a Weierstrass che dice che $AAf\inC(J),AA\epsilon>0,EEp\inRR[x]\text{ (cioè un polinomio a coefficienti reali)}:AAx\inJ,|f(x)-p(x)|<\epsilon$, da cui $AAf\inC(J),AA\epsilon>0,,EEp\inH:||f-p||_\infty<\epsilon$ ovvero $H$ è denso in $C(J)$.
Nel secondo esempio $H$ è chiuso, un modo comodo per farlo potrebbe essere quello di considerare la funzione $F_(x_0):C(J)->RR$, che manda $f\inC(J)$ in $f(x_0)$, dimostri che è continua, prendi $x_0=0$ e vedi che $H=F_0^(-1)({0})$.
Se questo modo ti sembra un po' articolato, puoi anche dimostrare che il complementare è aperto facendo vedere che è intorno di ogni suo punto.
P.S. Questo post sarebbe stato meglio nella sezione di analisi.
Se si, sia $J=[-1,1]$; nel il primo esempio si ha che è denso, ma non è mica banale, è un teorema dovuto a Weierstrass che dice che $AAf\inC(J),AA\epsilon>0,EEp\inRR[x]\text{ (cioè un polinomio a coefficienti reali)}:AAx\inJ,|f(x)-p(x)|<\epsilon$, da cui $AAf\inC(J),AA\epsilon>0,,EEp\inH:||f-p||_\infty<\epsilon$ ovvero $H$ è denso in $C(J)$.
Nel secondo esempio $H$ è chiuso, un modo comodo per farlo potrebbe essere quello di considerare la funzione $F_(x_0):C(J)->RR$, che manda $f\inC(J)$ in $f(x_0)$, dimostri che è continua, prendi $x_0=0$ e vedi che $H=F_0^(-1)({0})$.
Se questo modo ti sembra un po' articolato, puoi anche dimostrare che il complementare è aperto facendo vedere che è intorno di ogni suo punto.
P.S. Questo post sarebbe stato meglio nella sezione di analisi.
Lo sposto in Analisi
Quello che rimane:
Per il primo, dato che $H$ è denso, allora $C([-1,1]=ch(H)!=H$ cioè $H$ non è chiuso.
Il secondo non è denso, infatti se prendi una funzione $g$ che non appartiene a $H$, hai che $delta:=|g(0)|>0$, e $B_delta(g)$ non interseca $H$
Per il primo, dato che $H$ è denso, allora $C([-1,1]=ch(H)!=H$ cioè $H$ non è chiuso.
Il secondo non è denso, infatti se prendi una funzione $g$ che non appartiene a $H$, hai che $delta:=|g(0)|>0$, e $B_delta(g)$ non interseca $H$
Grazie mille per l'aiuto, mi rimane solo un dubbio: perché se H contiene i polinomi di grado minore o uguale a 1 il teorema smette di valere è l'insieme risulta chiuso?
Devi dimostrare che esiste almeno una funzione continua in $[-1,1]$ non approssimabile arbitrariamente bene da una retta, se proprio ti interessa posso costruirti un controesempio.
Per l'altro punto invece è meglio dimostare che il complementare è aperto, prendi una funzione che non sia una retta e costruisci una palla $B_delta(f)$ che non contiene rette.
Equivale a dimostrare che nessuna funzione è approssimabile con rette arbitrariamente bene
Comunque, se dimostri chs è chiuso segue automaticamente che non é denso
Per l'altro punto invece è meglio dimostare che il complementare è aperto, prendi una funzione che non sia una retta e costruisci una palla $B_delta(f)$ che non contiene rette.
Equivale a dimostrare che nessuna funzione è approssimabile con rette arbitrariamente bene
Comunque, se dimostri chs è chiuso segue automaticamente che non é denso
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