Misure (o aree) |Ω| per funzioni e insiemi
Salve a tutt*. Ho un problema che né gli appunti né il libro riescono a sanare.
Devo calcolare la misura |Ω| con Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 1 − x ≤ y ≤√ 1 − $x^2$}
Il procedimento penso risulti essere la misurazione secondo Peano-Jordan, per cui se Ω$sub$$R^2$ è limitato e f(x)$-=$1 il valore dell'integrale si dice misura (o area) di $Ω$ e si indica con $|Ω|$: $\int int 1 dxdy$ in $Ω$.
Di fronte a questo, però non so proprio come muovermi. Il professore non ci ha fatto esempi e io non ho idea di come applicare questa cosa all'insieme che ho.
Sono qui a pensarci da un'ora e mezzo e non ne cavo nulla.
Grazie a chi leggerà e a chi vorrà aiutarmi.
Devo calcolare la misura |Ω| con Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 1 − x ≤ y ≤√ 1 − $x^2$}
Il procedimento penso risulti essere la misurazione secondo Peano-Jordan, per cui se Ω$sub$$R^2$ è limitato e f(x)$-=$1 il valore dell'integrale si dice misura (o area) di $Ω$ e si indica con $|Ω|$: $\int int 1 dxdy$ in $Ω$.
Di fronte a questo, però non so proprio come muovermi. Il professore non ci ha fatto esempi e io non ho idea di come applicare questa cosa all'insieme che ho.
Sono qui a pensarci da un'ora e mezzo e non ne cavo nulla.
Grazie a chi leggerà e a chi vorrà aiutarmi.
Risposte
Ciao, innanzitutto ti posto un'ottima dispensa di teoria della misura ed integrazione. Spero possa esserti utile, è la stessa su cui sto studiando io e mi sembra molto ben fatta 
Detto questo, sto appunto ancora studiando l'argomento, quindi per quanto ne sappia già qualcosa, prendi le mie affermazioni con il beneficio del dubbio.
Allora, ammetto di non aver mai usato espressamente la misura di PJ in problemi del genere, forse perchè trovo molto più utile e razionale la misura di Lebesgue. Comunque, siccome $Omega sub RR^2$ è limitato, il problema di quale misura usare non si pone. Inoltre, così ad occhio, mi sembra che $Omega$ sia chiuso, quindi è misurabile (secondo Lebesgue ed anche secondo PJ) e possiamo legittimamente calcolarne la misura.
Hai posto bene l'integrale, e dato che conosciamo esplicitamente gli insiemi di appartenenza di entrambe le variabili, lo si risolve in questo modo: $int int_Omega dx dy = int_0^1 int_(1-x)^sqrt(1-x^2) dx dy = int_0^1 (sqrt(1-x^2) - 1 + x) dx$, ed a questo punto puoi andare avanti da te. Quello che rimane è quindi un integrale di Riemann su un dominio limitato, da calcolare con i metodi soliti.
Detto questo, sto appunto ancora studiando l'argomento, quindi per quanto ne sappia già qualcosa, prendi le mie affermazioni con il beneficio del dubbio.Allora, ammetto di non aver mai usato espressamente la misura di PJ in problemi del genere, forse perchè trovo molto più utile e razionale la misura di Lebesgue. Comunque, siccome $Omega sub RR^2$ è limitato, il problema di quale misura usare non si pone. Inoltre, così ad occhio, mi sembra che $Omega$ sia chiuso, quindi è misurabile (secondo Lebesgue ed anche secondo PJ) e possiamo legittimamente calcolarne la misura.
Hai posto bene l'integrale, e dato che conosciamo esplicitamente gli insiemi di appartenenza di entrambe le variabili, lo si risolve in questo modo: $int int_Omega dx dy = int_0^1 int_(1-x)^sqrt(1-x^2) dx dy = int_0^1 (sqrt(1-x^2) - 1 + x) dx$, ed a questo punto puoi andare avanti da te. Quello che rimane è quindi un integrale di Riemann su un dominio limitato, da calcolare con i metodi soliti.
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