Misure di Lebesque in R
Buongiorno... Sto studiando il seguente argomento "Misure di Lebesque"
Sapendo che
$1$ per ogni $a in RR$ è $m({a})$ $=$ l([a,a]) $=0$ (scusate ma non mi faceva scrivere le parentesi quadre in ASCIIMathML)
$2$ $\phi$ $sube {a}$ $=>$ $m(\phi)$ $<=$ $m({a})$
$3$ $A=$ $uuu_{n=1}^infty {a_n}$ con ${a_n}$ tutti distinti. Allora $\sum_{n=1}^infty m({a_n})=0$
Consideriamo $E sube RR$ : $\phi(x)={(1,if x!in E),(0,if xnotin E):}$ è integrabile secondo Riemann.
Secondo queste definizioni il mio problema si pone sul seguente passo:
$QQ nn [0,1]={a_n}_(n in NN)$
Per ogni $a in RR => m({a})=\int_{RR} phi_({a})(x) dx=\int_{-a}^{a} 1 dx=0$.
Fino qui tutto bene. La mia prof.essa continua nel seguente modo e non capisco cosa abbia voluto dire:
"$m(QQ)=\sum_{n=1}^infty m({a_n})=0$, ma quest'ultima non è proprio definita in quanto $phi_({a})$ non è proprio integrabile secondo Riemann".
Cosa ha voluto dire con questi ultime due righe?
Grazie anticipatamente a chi saprà darmi una mano!
Sapendo che
$1$ per ogni $a in RR$ è $m({a})$ $=$ l([a,a]) $=0$ (scusate ma non mi faceva scrivere le parentesi quadre in ASCIIMathML)
$2$ $\phi$ $sube {a}$ $=>$ $m(\phi)$ $<=$ $m({a})$
$3$ $A=$ $uuu_{n=1}^infty {a_n}$ con ${a_n}$ tutti distinti. Allora $\sum_{n=1}^infty m({a_n})=0$
Consideriamo $E sube RR$ : $\phi(x)={(1,if x!in E),(0,if xnotin E):}$ è integrabile secondo Riemann.
Secondo queste definizioni il mio problema si pone sul seguente passo:
$QQ nn [0,1]={a_n}_(n in NN)$
Per ogni $a in RR => m({a})=\int_{RR} phi_({a})(x) dx=\int_{-a}^{a} 1 dx=0$.
Fino qui tutto bene. La mia prof.essa continua nel seguente modo e non capisco cosa abbia voluto dire:
"$m(QQ)=\sum_{n=1}^infty m({a_n})=0$, ma quest'ultima non è proprio definita in quanto $phi_({a})$ non è proprio integrabile secondo Riemann".
Cosa ha voluto dire con questi ultime due righe?
Grazie anticipatamente a chi saprà darmi una mano!
Risposte
Ciao!
Non sono bene riuscito a seguire il discorso, perché anche io sto facendo la misura di Lebesgue ma non ho ancora iniziato a studiare bene la teoria... ma mi sembra di capire questo: hai definito la misura secondo Lebesgue utilizzando l'integrale di Riemann della funzione $phi$. Se prendi l'insieme $E = QQ$, allora la funzione $phi$ diventa la funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali... che è chiaramente non integrabile secondo Riemann, visto che non si può proprio definire il limite superiore o inferiore delle somme integrali!
Però essendo $QQ$ numerabile, si può definire la successione dei razionali ${a_n}$ e nel punto 1 hai detto che ogni punto ha misura nulla, quindi $QQ$ ha misura nulla. Io la interpreterei così!
Correzioni sono ben gradite
Non sono bene riuscito a seguire il discorso, perché anche io sto facendo la misura di Lebesgue ma non ho ancora iniziato a studiare bene la teoria... ma mi sembra di capire questo: hai definito la misura secondo Lebesgue utilizzando l'integrale di Riemann della funzione $phi$. Se prendi l'insieme $E = QQ$, allora la funzione $phi$ diventa la funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali... che è chiaramente non integrabile secondo Riemann, visto che non si può proprio definire il limite superiore o inferiore delle somme integrali!
Però essendo $QQ$ numerabile, si può definire la successione dei razionali ${a_n}$ e nel punto 1 hai detto che ogni punto ha misura nulla, quindi $QQ$ ha misura nulla. Io la interpreterei così!
Correzioni sono ben gradite
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