Misure con segno

[flavi2]

Ciao ragazzi!
Ho una misura con segno $\mu$ sulla $\sigma$-algebra dei boreliani di uno spazio topologico compatto $X$ e due funzioni continue e positive $f$, $g$ su $X$.
Se $\int_E f d \mu=\int_E g d \mu$ per ogni $E$ boreliano allora $f=g$ $\|\mu\|-q. o . $. Perché?

[flavi2]

Ho dimenticato di dire che $0 L'enunciato equivale a dire che le seguenti due misure con segno sono uguali $f\mu=g\mu$. Quindi anche le due misure positive $\|f\mu\|=\|g\mu\|$.
Dovrebbe allora seguire $f\|\mu\|=g\|\mu\|$ in quanto $f,g>0$ (è questo il passaggio che non riesco a giustificare utilizzando solo la definizione di $\|\mu\|$).
Ma allora $\int_E f d\|\mu\|=\int_E g d\|\mu\|$ per ogni $E$ boreliano, quindi la tesi.
Qualche suggerimento per il passaggio sopra?