Misure assolutamente continue e derivate
Ciao a tutti!
Mi sento molto stupida nel non essere certa dello svolgimento dell'esercizio che trascrivo qui di seguito, ma non vorrei aver "sfruttato" passaggi poco leciti. Onestamente mi sembra di aver solo applicato le definizioni, però... Ogni puntualizzazione e critica sono più che ben accetti, così come un: "Va bene"! Grazie!
Siano date $\mu,\nu,\kappa$ tre misure $\sigma$-finite sullo spazio $(\Omega,\mathcal{A})$ tali che $\kappa < < \nu < < \mu$. Si dimostri che quasi ovunque risulta: \[ \frac{d\kappa}{d\mu}=\frac{d\kappa}{d\nu}\frac{d\nu}{d\mu} \]
Come incipit ho semplicemente sottolineato che le derivate di Radon-Nikodym citate nella tesi esistono e sono uniche: applicando il teorema di Radon-Nikodym posso affermare che esistono, sono $\mathcal{A}$-misurabili e, rispettivamente, $\mu$-, $\nu$- e nuovamente $\mu$-misurabili; inoltre per la proposizione sull'unicità della densità sono uniche.
Quindi ho sfruttato la strada della definizione di densità. Ho considerato $A\in\mathcal{A}$. Per ipotesi, essendo $\kappa < < \nu < < \mu$, ho che:
$\kappa(A)=\int \chi_A d\kappa=\int \chi_A \frac{d\kappa}{d\nu} d\nu \quad$ utilizzando il fatto che $\frac{d\kappa}{d\nu}$ è la densità di $\kappa$ rispetto a $\nu$
$\quad \qquad =\int \chi_A \frac{d\kappa}{d\nu} \frac{d\nu}{d\mu} d\mu \quad$ utilizzando il fatto che $\frac{d\nu}{d\mu}$ è la densità di $\nu$ rispetto a $\mu$
$\kappa(A)=\int \chi_A d\kappa=\int \chi_A \frac{d\kappa}{d\mu} d\mu \quad$ utilizzando il fatto che $\frac{d\kappa}{d\mu}$ è la densità di $\kappa$ rispetto a $\mu$
Quindi ho ottenuto: $\int \chi_A \frac{d\kappa}{d\mu} d\mu = \int \chi_A \frac{d\kappa}{d\nu} \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$ da cui la tesi.
Ho scritto qualche corbelleria o è corretto?
Grazie mille davvero!
Mi sento molto stupida nel non essere certa dello svolgimento dell'esercizio che trascrivo qui di seguito, ma non vorrei aver "sfruttato" passaggi poco leciti. Onestamente mi sembra di aver solo applicato le definizioni, però... Ogni puntualizzazione e critica sono più che ben accetti, così come un: "Va bene"! Grazie!
Siano date $\mu,\nu,\kappa$ tre misure $\sigma$-finite sullo spazio $(\Omega,\mathcal{A})$ tali che $\kappa < < \nu < < \mu$. Si dimostri che quasi ovunque risulta: \[ \frac{d\kappa}{d\mu}=\frac{d\kappa}{d\nu}\frac{d\nu}{d\mu} \]
Come incipit ho semplicemente sottolineato che le derivate di Radon-Nikodym citate nella tesi esistono e sono uniche: applicando il teorema di Radon-Nikodym posso affermare che esistono, sono $\mathcal{A}$-misurabili e, rispettivamente, $\mu$-, $\nu$- e nuovamente $\mu$-misurabili; inoltre per la proposizione sull'unicità della densità sono uniche.
Quindi ho sfruttato la strada della definizione di densità. Ho considerato $A\in\mathcal{A}$. Per ipotesi, essendo $\kappa < < \nu < < \mu$, ho che:
$\kappa(A)=\int \chi_A d\kappa=\int \chi_A \frac{d\kappa}{d\nu} d\nu \quad$ utilizzando il fatto che $\frac{d\kappa}{d\nu}$ è la densità di $\kappa$ rispetto a $\nu$
$\quad \qquad =\int \chi_A \frac{d\kappa}{d\nu} \frac{d\nu}{d\mu} d\mu \quad$ utilizzando il fatto che $\frac{d\nu}{d\mu}$ è la densità di $\nu$ rispetto a $\mu$
$\kappa(A)=\int \chi_A d\kappa=\int \chi_A \frac{d\kappa}{d\mu} d\mu \quad$ utilizzando il fatto che $\frac{d\kappa}{d\mu}$ è la densità di $\kappa$ rispetto a $\mu$
Quindi ho ottenuto: $\int \chi_A \frac{d\kappa}{d\mu} d\mu = \int \chi_A \frac{d\kappa}{d\nu} \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$ da cui la tesi.
Ho scritto qualche corbelleria o è corretto?
Grazie mille davvero!
Risposte
Quello che ho scritto è sbagliato e alla fine ho trovato un modo per risolvere comunque l'esercizio.
Purtroppo non riesco a cancellarlo, ma se qualcuno volesse farlo al posto mio non ci sarebbero problemi.
Grazie!
Purtroppo non riesco a cancellarlo, ma se qualcuno volesse farlo al posto mio non ci sarebbero problemi.
Grazie!
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