Misurabilità secondo Caratheodory, significato intuitivo?
Affrontando la questione della misurabilità mi trovo ad affrontare la sua definizione secondo Carathéodory, la quale afferma il seguente:
Sia $\lambda^\star$ la misura esterna di Lebesgue e $E \subseteq \mathbb{R}^n $ allora E è Lebesgue-misurabile $\iff \forall A \subseteq \mathbb{R}^n$ $\lambda^\star(A) = \lambda^\star(A\capE) + \lambda^\star(A\capE^c)$
Sono alla ricerca di un modo di trovare una associazione intuitiva per questa definizione di misurabilità cosicché non rimanga solo una formula imparata a memoria da scordare appena passato l'esame.
Da alcune parti ho letto che si può far vedere che la definizione data è equivalente ad $\lambda^\star(E) = \lambda_\star(E) \iff $ E è Lebesgue-misurabile. Questa se $\lambda_\star$ rappresenta la misura interna mi appare più logica in quanto simile alla costruzione della "misura" di Jordan (quella dell'integrale di Riemann).
Se questa equivalenza è vera, perché sussiste? Qual'è il significato concreto della definizione di misurabilità secondo Carathéodory?
Grazie!
Sia $\lambda^\star$ la misura esterna di Lebesgue e $E \subseteq \mathbb{R}^n $ allora E è Lebesgue-misurabile $\iff \forall A \subseteq \mathbb{R}^n$ $\lambda^\star(A) = \lambda^\star(A\capE) + \lambda^\star(A\capE^c)$
Sono alla ricerca di un modo di trovare una associazione intuitiva per questa definizione di misurabilità cosicché non rimanga solo una formula imparata a memoria da scordare appena passato l'esame.
Da alcune parti ho letto che si può far vedere che la definizione data è equivalente ad $\lambda^\star(E) = \lambda_\star(E) \iff $ E è Lebesgue-misurabile. Questa se $\lambda_\star$ rappresenta la misura interna mi appare più logica in quanto simile alla costruzione della "misura" di Jordan (quella dell'integrale di Riemann).
Se questa equivalenza è vera, perché sussiste? Qual'è il significato concreto della definizione di misurabilità secondo Carathéodory?
Grazie!
Risposte
Nessuno?
L'idea è che un insieme $E$ è misurabile solo se la misura esterna di un qualsiasi $A$ si ottiene sommando le misure esterne della parte di $A$ che cade in $E$ e della parte di $A$ che cade fuori da $E$.
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