Misurabilità Funzioni Continue

[avmarshall]

Salve a tutti.
Sarà l'ora ma sto cercando di capire (invano) il teorema che mi dice che una funzione continua è misurabile. Vi dico quale è il mio problema.
Nel libro c'è scritta la seguente:
Ogni funzione $ f:E sube R^n->R $ continua è misurabile. Ciò segue dal fatto che, $ AA tinR $ l'insieme $ E={ x in X:f(x)>t } $ è un aperto, quindi misurabile: infatti, se $ f(x')>t $ , per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno di $ x' $ tale che $ f(x)>t $ e perciò $ x' $ è punto interno di $ E $ .
E quindi?
Ho capito tutto ma non riesco a collegare il fatto che sia punto interno con la continuità. Forse perché f è definita in E?
Grazie per l'attenzione

[gugo82]

Un insieme è aperto se e solo se esso contiene un intorno aperto di ogni suo punto.

Ed il fatto che \(\{f>t\}\) è aperto lo dimostri proprio sfruttando questa definizione, usando la continuità della \(f\) ed il teorema della permanenza del segno in maniera cruciale.

[avmarshall]

Non capisco dove vuoi arrivare.

EDIT
Non avevo visto quello che avevi scritto dopo. Ora ho capito! Avevo perso di vista (incredibilmente) l'ipotesi di continuità. Devo dimostrare che f è misurabile, quindi lo dimostro applicando la definizione di insieme misurabile. Dunque scelgo un aperto, che è ovviamente misurabile, e quindi anche f è misurabile, poichè è definita proprio nell'insieme aperto che ho dimostrato essere misurabile. Giusto?

[gugo82]

Il fatto fondamentale (che prima mi sono dimenticato di citare) è che i borelliani di \(\mathbb{R}^N\) sono tutti misurabili nel senso di Lebesgue, e gli aperti sono borelliani.

Ricapitolando, per dimostrare che una \(f:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}\) continua anche misurabile ti serve far vedere che, per ogni \(t\in \mathbb{R}\), l'insieme \(f^{-1}(]t,\infty[) =\{f >t\}\) è un insieme misurabile in \(\mathbb{R}^N\).
Ora, fissato \(t\in \mathbb{R}\), ti accorgi che l'insieme \(\{f >t\}\) è aperto (per il teorema della permanenza del segno e per la continuità); dato che gli aperti sono borelliani e che i borelliani sono insiemi misurabili secondo Lebesgue, è chiaro che l'insieme \(f^{-1}(]t,\infty[)\) è misurabile in \(\mathbb{R}^N\).
Dato che \(t\) è stato fissato arbitrariamente, ciò mostra che \(f\) è una funzione misurabile.

[avmarshall]

Per quel che mi è possibile ho capito, però mi manca la definizione di borelliano (anche perchè non c'è nel programma del mio prof).
Ricapitolando, indipendentemente da tutto, dovrei provare che l'insieme di definizione e di arrivo della funzione continua sono misurabil?
Ti chiedo questo perchè il mio professore ha dimostrato questo teorema usando la definizione di funzione misurabile con il $ <= $ e dimostrando che l'insieme da lui ottenuto è chiuso. Questo implica che f è misurabile.
Siccome ho visto che il libro non perde tempo con dimostrazioni, questo teorema l'ho fatto da li, ma non capisco la conclusione.
Il mio problema fondamentalmente (come ho detto prima) è capire se posso affermare che la funzione è misurabile proprio perchè sono misurabili il suo insieme di definizione e il codominio (sia nel caso di aperto, che nel caso di chiuso si giunge alla stessa conclusione di misurabilità).
Grazie tante dell'aiuto!

[gugo82]

Conosci la definizione di funzione misurabile?

[avmarshall]

Direi di si. Mi pare che l'avevo già scritta nel primo post.
Ho capito! Essendoci dei punti in cui si realizza la condizione $ f(x)>t $ allora f è misurabile. Giusto?

[gugo82]

Formalizzo ancora meglio la dimostrazione, che di per sé è banalissima (e quindi, da un certo punto di vista, davvero non riesco a capire la tua difficoltà).

***

Innanzitutto ricordo un fatto fondamentale:

Ogni insieme aperto \(A\subseteq \mathbb{R}^N\) è misurabile secondo Lebesgue.

Dato che la classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue costituisce una \(\sigma\)-algebra, da questo fatto basilare segue immediatamente che:

Ogni insieme chiuso \(C\subseteq \mathbb{R}^N\) è misurabile secondo Lebesgue.

Inoltre, un altro fatto importante della teoria è il seguente:

Sia \(\mathcal{B}\) la \(\sigma\)-algebra generata dagli aperti di \(\mathbb{R}^N\) (i.e., la più piccola \(\sigma\)-algebra tale che \(A\in \mathcal{B}\) per ogni aperto \(A\subseteq \mathbb{R}^N\)), detta \(\sigma\)-algebra di Borel di \(\mathbb{R}^N\) ed i suoi elementi si chiamano borelliani.

Ogni insieme \(B\in \mathcal{B}\) è misurabile secondo Lebesgue.

***

Veniamo al nostro problema.
Innanzitutto, ricordo la definizione:

Una funzione \(f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) si dice misurabile (nel senso di Lebesgue) se e solo se per ogni \(t\in \mathbb{R}\) l'insieme \(f^{-1}(]t,\infty[) := \{x:\ f(x)>t\}\) è un insieme misurabile secondo Lebesgue.

Sfruttando nuovamente il fatto che la classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue è una \(\sigma\)-algebra, si riconosce facilmente che:

Sia \(f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\).
Le seguenti proposizioni sono equivalenti:

[*:3iaknamx] per ogni \(t\in \mathbb{R}\) l'insieme \(f^{-1}(]t,\infty[) =\{f>t\}\) è misurabile;

[/*:m:3iaknamx]
[*:3iaknamx] per ogni \(t\in \mathbb{R}\) l'insieme \(f^{-1}([t,\infty[) =\{f\geq t\}\) è misurabile;

[/*:m:3iaknamx]
[*:3iaknamx] per ogni \(t\in \mathbb{R}\) l'insieme \(f^{-1}(]-\infty ,t[) =\{f
[/*:m:3iaknamx]
[*:3iaknamx] per ogni \(t\in \mathbb{R}\) l'insieme \(f^{-1}(]-\infty ,t]) = \{f\leq t\}\) è misurabile.[/*:m:3iaknamx][/list:u:3iaknamx]
Conseguentemente, la funzione \(f\) è misurabile nel senso di Lebesgue se e solo se è verificata una qualsiasi (e dunque tutte) delle precedenti.

[Questo teoremino implica che la dimostrazione fatta dal tuo prof e quella fatta dal testo sono del tutto equivalenti.]

Ora veniamo alla dimostrazione del teoremino.

Ogni funzione \(f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) continua è misurabile nel senso di Lebesgue.

Dim.: Scegliamo \(f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) continua.
Dobbiamo far vedere, a norma della definizione, che per ogni \(t\in \mathbb{R}\) è misurabile nel senso di Lebesgue l'insieme \(\{f>t\}\).
Fissiamo allora \(t\in \mathbb{R}\) e distinguiamo due casi.

[*:3iaknamx] Se l'insieme \(\{f>t\}\) è vuoto, allora esso è misurabile.

[/*:m:3iaknamx]
[*:3iaknamx] Se \(\{ f>t\}\) non è vuoto, scegliamo un \(x_0\in \{ f>t\}\): in tal caso, per continuità sappiamo che:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) -t= f(x_0)-t>0
\]
dunque, per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno sferico \(B(x_0;r)\) tale che \(f(x)-t>0\) per ogni \(x\in B(x_0;r)\). Ma allora per \(x\in B(x_0;r)\) si ha \(f(x)>t\) ossia \(x\in \{ f>t\}\); l'arbitrarietà nella scelta di \(x\in B(x_0;r)\) implica \(B(x_0;r)\subseteq \{ f>t\}\).
Abbiamo così provato che non appena \(\{ f>t\}\) è non vuoto, esso contiene un intorno aperto di ogni suo punto; ciò significa che ogni punto di \(\{f>t\}\) è interno a \(\{ f>t\}\), cioè che \(\{ f>t\}\) è aperto.
Per il fatto fondamentale di teoria ricordato all'inizio, l'insieme \(\{f >t\}\) è dunque misurabile.[/*:m:3iaknamx][/list:u:3iaknamx]
Ne viene che \(\{ f>t \}\) è un insieme misurabile per ogni \(t\in \mathbb{R}\) e tanto basta per acquisire la tesi. \(\square\)

[avmarshall]

Ok ti ringrazio. Comunque è quello che ho detto nel post precedente.
La dimostrazione rigorosa di questo fatto è quella che mi hai scritto nell'ultimo post ed è quello che intendevo dirti nel post precedente a questo.
Per quanto riguarda la dimostrazione del mio prof, io intendevo dire che la dimostrazione si può fare anche con i chiusi, considerando l'altra definizione di funzione continua, solo che in quel caso bisogna dimostrare che l'insieme contiene i suoi punti d'accumulazione e quindi diventa meno immediata la dimostrazione.
Quindi ho preferito fare quella del testo, che ho capito stamattina quando mi hai riportato alla mente la definizione di funzione misurabile.
Ti ringrazio comunque dell'aiuto che mi hai dato!

[gugo82]

In realtà è stata questa frase:

"avmarshall":Essendoci dei punti in cui si realizza la condizione $ f(x)>t $ allora f è misurabile. Giusto?

a farmi preoccupare... Insomma, faceva capire che non avessi ancora realizzato come gestire la situazione.