Misurabilità e integrazione secondo Lebesgue
Data la funzione $f$ sull'intervallo $(-1,1)^2$ definita come
$ f(x,y)=\{((xy)/((x^2+y^2)^2), ", per " x!=0 " o " y!=0),(0, ", per " x=0=y):} $
è misurabile? è integrabile secondo Lebesgue sull'intervallo $(-1,1)^2$?
gli integrali doppi [n.d. Gugo82: si chiamano integrali iterati] $\int_(-1)^1 \{ \int_(-1)^1 f(x,y)" d"x\}" d"y$ e $\int_(-1)^1 \{ \int_(-1)^1 f(x,y)" d"y\}" d"x$ dovrebbero risultare uguali?
in ultimo a parte le risposte mi interesserebbe più che altro sapere i criteri di misurabilità e integrabilità secondo Lebesgue che si possono usare per capire se una funzione ha le suddette proprietà!
un grazie grandissimo
$ f(x,y)=\{((xy)/((x^2+y^2)^2), ", per " x!=0 " o " y!=0),(0, ", per " x=0=y):} $
è misurabile? è integrabile secondo Lebesgue sull'intervallo $(-1,1)^2$?
gli integrali doppi [n.d. Gugo82: si chiamano integrali iterati] $\int_(-1)^1 \{ \int_(-1)^1 f(x,y)" d"x\}" d"y$ e $\int_(-1)^1 \{ \int_(-1)^1 f(x,y)" d"y\}" d"x$ dovrebbero risultare uguali?
in ultimo a parte le risposte mi interesserebbe più che altro sapere i criteri di misurabilità e integrabilità secondo Lebesgue che si possono usare per capire se una funzione ha le suddette proprietà!
un grazie grandissimo
"kimberly, nel post integrazione secondo Lebesgue,":37fgo2i8:
data $f:[0,+oo) ->RR$ integrabile secondo Lebesgue e sia $F:RR^2->RR$ tale che a $F(x,y)= f(x^2+y^2)$; dimostrare che $F$ è integrabile secondo Lebesgue, che:
$\int_(RR^2) F(x,y)" d"x"d"y = \int_0^(+oo) pi f(r)" d"r$
e che nel caso di $f(r)=e^(-r)$ l'integrale risulta $sqrt(pi)$.
aiutatemi è urgente! e io non riesco proprio a capire che criteri, ipotesi o qualsivoglia altro devo controllare per rispondere a queste domande!
grazie mille!!
Risposte
@ kimberly: Salve, vedo che sei nuova.
Ti chiedo di dare una scorsa veloce al regolamento (basta cliccare sul link; soprattutto alle 1.2-1.4) e all'avviso che trovi qui.
Se vuoi imparare ad usare il linguaggio per la Matematica MathML, clicca su formule.
La questione della misurabilità la risolveresti facilmente se sapessi, ad esempio, che la tua funzione è q.o. continua...
La questione dell'integrabilità e degli integrali iterati, suggerirei una verifica delle ipotesi Fubini-Tonelli.
P.S.: Ho visto che hai aperto un thread su questioni simili; se vuoi posso accorpare i thread.
Ti chiedo di dare una scorsa veloce al regolamento (basta cliccare sul link; soprattutto alle 1.2-1.4) e all'avviso che trovi qui.
Se vuoi imparare ad usare il linguaggio per la Matematica MathML, clicca su formule.
La questione della misurabilità la risolveresti facilmente se sapessi, ad esempio, che la tua funzione è q.o. continua...
La questione dell'integrabilità e degli integrali iterati, suggerirei una verifica delle ipotesi Fubini-Tonelli.
P.S.: Ho visto che hai aperto un thread su questioni simili; se vuoi posso accorpare i thread.
Ho letto attentamente il regolamento, grazie per avermi mandato il link!
Per la questione di accorpare le due domande va bene.. ho pensato alla seconda dopo aver giá inviato la prima e non sapevo come metterle insieme.
Per quanto riguarda la domanda l´esercizio é solo un esempio.. me ne sono stati proposti a decine cosí ma non conosco i criteri per cui si possa determinare se una funzione é integrabile secondo Lebesgue o meno. Nel caso una funzione non sia continua q.o. é immediato che non sia integrabile secondo Lebesgue? Oppure nel caso non sia cosí evidente che é continua q.o. che strada devo prendere per determinarlo?
Inoltre so che la misurabilitá di una funzione é immediata conseguenza del fatto che sia integrabile secondo Lebesgue, ma se non conoscessi il suo essere o meno integrabile o se fosse troppo complicato da determinare come posso capire se é misurabile o meno?
Grazie intanto per gli input.. controlleró il teorema di Fubini-Tonelli sugli integrali iterati (a noi purtroppo li hanno insegnati come doppi)!
Per la questione di accorpare le due domande va bene.. ho pensato alla seconda dopo aver giá inviato la prima e non sapevo come metterle insieme.
Per quanto riguarda la domanda l´esercizio é solo un esempio.. me ne sono stati proposti a decine cosí ma non conosco i criteri per cui si possa determinare se una funzione é integrabile secondo Lebesgue o meno. Nel caso una funzione non sia continua q.o. é immediato che non sia integrabile secondo Lebesgue? Oppure nel caso non sia cosí evidente che é continua q.o. che strada devo prendere per determinarlo?
Inoltre so che la misurabilitá di una funzione é immediata conseguenza del fatto che sia integrabile secondo Lebesgue, ma se non conoscessi il suo essere o meno integrabile o se fosse troppo complicato da determinare come posso capire se é misurabile o meno?
Grazie intanto per gli input.. controlleró il teorema di Fubini-Tonelli sugli integrali iterati (a noi purtroppo li hanno insegnati come doppi)!
[mod="Gugo82"]Ho accorpato i due thread, inserendo il testo dell'altro (che chiuderò) come citazione nel primo post.[/mod]
I criteri di integrabilità non sono molti e dovresti trovarli sul tuo libro (penso che il docente ne abbia consigliato qualcuno, no?).
Per l'integrabilità alla Lebesgue di $f:X\to RR$ devi verificare la misurabilità di $f$ e la condizione $\int_X |f|" d"mu<+oo$; la prima delle due cose si può fare controllando la continuità (ad esempio), la seconda o si verifica a mano calcolando l'integrale* (ad esempio con Fubini se ti trovi in $RR^n$) oppure si deduce da qualche teorema di confronto (tipo $"se " |f|<=phi " q.o. e " phi " è integrabile "=> f " è integrabile e " \int_X|f|" d"mu<=\int_Xphi" d"mu$).
A me non l'hanno raccontata così.
Io so che per stabilire l'integrabilità devi necessariamente prima controllare che la funzione integranda sia misurabile; ciò discende dal fatto che l'integrale non è definito per funzioni non misurabili.
La misurabilità si può provare o andando direttamente a verificare se è soddisfatta la definizione, o usando qualche risultato più o meno noto (tipo "Ogni funzione continua di $RR^n$ in $RR$ è misurabile").
Per la seconda questione: hai provato a passare in coordinate polari?
P.S.: Posso chiederti una curiosità? Che corso segui?
__________
* Molte volte per calcolare l'integrale di Lebesgue si usa il seguente risultato (che discende dal Teorema di Vitali-Lebesgue sulle funzioni integrabili secondo Riemann):
"Se $X\subseteq RR$ è un insieme limitato misurabile secondo Peano-Jordan e se $f:X\to RR$ è integrabile alla Riemann in $X$, allora $f$ è integrabile pure secondo Lebesgue in $X$ e l'integrale di Lebesgue di $f$ coincide con l'integrale di Riemann."
I criteri di integrabilità non sono molti e dovresti trovarli sul tuo libro (penso che il docente ne abbia consigliato qualcuno, no?).
Per l'integrabilità alla Lebesgue di $f:X\to RR$ devi verificare la misurabilità di $f$ e la condizione $\int_X |f|" d"mu<+oo$; la prima delle due cose si può fare controllando la continuità (ad esempio), la seconda o si verifica a mano calcolando l'integrale* (ad esempio con Fubini se ti trovi in $RR^n$) oppure si deduce da qualche teorema di confronto (tipo $"se " |f|<=phi " q.o. e " phi " è integrabile "=> f " è integrabile e " \int_X|f|" d"mu<=\int_Xphi" d"mu$).
"kimberly":
Inoltre so che la misurabilitá di una funzione é immediata conseguenza del fatto che sia integrabile secondo Lebesgue, ma se non conoscessi il suo essere o meno integrabile o se fosse troppo complicato da determinare come posso capire se é misurabile o meno?
A me non l'hanno raccontata così.
Io so che per stabilire l'integrabilità devi necessariamente prima controllare che la funzione integranda sia misurabile; ciò discende dal fatto che l'integrale non è definito per funzioni non misurabili.
La misurabilità si può provare o andando direttamente a verificare se è soddisfatta la definizione, o usando qualche risultato più o meno noto (tipo "Ogni funzione continua di $RR^n$ in $RR$ è misurabile").
Per la seconda questione: hai provato a passare in coordinate polari?
P.S.: Posso chiederti una curiosità? Che corso segui?
__________
* Molte volte per calcolare l'integrale di Lebesgue si usa il seguente risultato (che discende dal Teorema di Vitali-Lebesgue sulle funzioni integrabili secondo Riemann):
"Se $X\subseteq RR$ è un insieme limitato misurabile secondo Peano-Jordan e se $f:X\to RR$ è integrabile alla Riemann in $X$, allora $f$ è integrabile pure secondo Lebesgue in $X$ e l'integrale di Lebesgue di $f$ coincide con l'integrale di Riemann."
Sto facendo l'erasmus in Germania, seguo il corso di analisi superiore perchè in Italia nei primi due anni avevo già dato analisi 1,2,3,4.
Il problema è che oltre alla fatica di capire le lezioni ci riempiono di esercizi ogni settimana da consegnare il venerdì dopo che poi verranno valutati.
La maggior parte delle volte però non viene dato un metodo risolutivo o dei criteri ben definiti perchè sta allo studente riuscirci, con tutti i mezzi che vuole, ma senza l'aiuto del prof o del tutor. Cosa che io trovo abominevole perchè mi sono ridotta a cercare su internet e a chiedere a persone che non so neanche chi siano ma di cui mi devo fidare comunque senza poter direttamente andare dal prof, che fino alla consegna non dà spiegazioni.
Bè grazie intanto per il criterio del controllo del valore assoluto e per i chierimenti!
Intanto dovrei sbarcarci il lunario per questa settimana!
Il problema è che oltre alla fatica di capire le lezioni ci riempiono di esercizi ogni settimana da consegnare il venerdì dopo che poi verranno valutati.
La maggior parte delle volte però non viene dato un metodo risolutivo o dei criteri ben definiti perchè sta allo studente riuscirci, con tutti i mezzi che vuole, ma senza l'aiuto del prof o del tutor. Cosa che io trovo abominevole perchè mi sono ridotta a cercare su internet e a chiedere a persone che non so neanche chi siano ma di cui mi devo fidare comunque senza poter direttamente andare dal prof, che fino alla consegna non dà spiegazioni.
Bè grazie intanto per il criterio del controllo del valore assoluto e per i chierimenti!
Intanto dovrei sbarcarci il lunario per questa settimana!
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