Misura variazione in n dimensioni di funzione C1

[thecrazy1]

Mi sapete dire perchè se U è un aperto di R^n e f è almeno di classe C1 su U allora ||Df||(U) misura variazione di U è = all'integrale di lebesgue esteso a U del modulo del gradiente di f.

[Rigel1]

"thecrazy":Mi sapete dire perchè se U è un aperto di R^n e f è almeno di classe C1 su U allora ||Df||(U) misura variazione di U è = all'integrale di lebesgue esteso a U del modulo del gradiente di f.

Per definizione,
\[
\|Df\| (U) = \sup \{ \int_U f\, \text{div} \phi\, dx: \ \phi \in C^{\infty}_0(U, R^n), \ \|\phi\| \leq 1\}.
\]
D'altra parte, se \(f\in C^1\), per ogni \(\phi\in C^{\infty}_0\) si ha
\[
\int_U f\, \text{div} \phi = - \int_U \sum_i D_i f \, \phi_i,
\]
quindi ottieni la tesi passando al sup (approssimando \(\phi_i \sim - |D_i f| / \|D f\|\)).

[thecrazy1]

"Rigel":[quote="thecrazy"]Mi sapete dire perchè se U è un aperto di R^n e f è almeno di classe C1 su U allora ||Df||(U) misura variazione di U è = all'integrale di lebesgue esteso a U del modulo del gradiente di f.

Per definizione,
\[
\|Df\| (U) = \sup \{ \int_U f\, \text{div} \phi\, dx: \ \phi \in C^{\infty}_0(U, R^n), \ \|\phi\| \leq 1\}.
\]
D'altra parte, se \(f\in C^1\), per ogni \(\phi\in C^{\infty}_0\) si ha
\[
\int_U f\, \text{div} \phi = - \int_U \sum_i D_i f \, \phi_i,
\]
quindi ottieni la tesi passando al sup (approssimando \(\phi_i \sim - |D_i f| / \|D f\|\)).[/quote]
Scusa potresti spiegare meglio che significa passando al sup (approssimando \(\phi_i \sim - |D_i f| / \|D f\|\)).