[Misura] Sigma-algebra generata dai compatti

[dissonance]

Se ho uno spazio topologico localmente compatto e di Hausdorff, la [tex]\sigma[/tex]-algebra generata dagli aperti e quella generata dai compatti sono la stessa cosa? Forse ci vuole qualche ipotesi di [tex]\sigma[/tex]-compattezza?

Questo fatto mi serve relativamente al teorema di rappresentazione di Riesz, quello che mette in corrispondenza biunivoca funzionali lineari positivi su [tex]C_C[/tex] e una certa classe di misure: io lo conoscevo, da Real and complex analysis, sulla [tex]\sigma[/tex]-algebra generata dagli aperti, ma su un libro che sto leggendo lo introduce sulla [tex]\sigma[/tex]-algebra generata dai compatti. Vorrei capire se si sta dicendo sempre la stessa cosa.

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P.S.: Mi sa che questo libro (The Schrödinger Equation, di Berezin e Shubin, S1.§2) richiede implicitamente che ogni aperto sia [tex]\sigma[/tex]-compatto (unione numerabile di compatti) - se è così è facile mostrare che le due [tex]\sigma[/tex]-algebre coincidono.
Infatti lui dice che esiste una corrispondenza biunivoca tra

[tex]$\{\Lambda \colon C_C(M) \to \mathbb{C}\ \text{forma lineare positiva} \}[/tex]

e l'insieme delle misure finite sui compatti (si intende, definite sulla più piccola [tex]\sigma[/tex]-algebra che li contiene), data da

[tex]$\Lambda f=\int_{\text{supp}f}f\, d\mu[/tex].

Se non sbaglio la corrispondenza biunivoca richiede che ogni aperto sia [tex]\sigma[/tex]-compatto, stando a Real and complex analysis §2.18. Io continuo a leggere assumendo questa ipotesi, se qualcuno vuole commentare mi fa un piacere. Grazie.

[Rigel1]

Dovrei rispolverare un po' di teoria della misura; comunque, se non ricordo male, per garantire che la $\sigma$-algebra di Borel coincida con la $\sigma$-algebra generata dai compatti è necessario richiedere che lo spazio (di Hausdorff) sia $\sigma$-compatto.
Se nessuno fornisce qualche indicazione a proposito posso provare a cercare un riferimento.