Misura nulla secondo Jordan e Lebesgue

[Plinio78]

Perché se un insieme ha misura nulla secondo Jordan allora ha misura nulla anche secondo Lebesgue?

[otta96]

Perché se in insieme è misurabile secondo Jordan lo è anche secondo Lebesgue e il valore della misura è lo stesso.

[dissonance]

Infatti la cosa interessante è: un insieme ha misura nulla secondo Lebesgue *se e solo se* esso ha misura nulla secondo (Peano-)Jordan. Questo vale solo per gli insiemi di misura nulla. Per insiemi di misura non nulla i due concetti di misurabilità sono diversi.

[killing_buddha]

Stai dicendo che se un sottoinsieme (di $\mathbb R$, diciamo) ha misura di Lebesgue zero, è PJ-misurabile, e ha misura di PJ zero? Non lo avrei mai detto. Come si dimostra nel caso di insiemi "complicati", tipo $\mathbb Q\cap [0,1]$ o Cantor?

[dissonance]

SI, è quello che sto dicendo. Il punto è che "misura nulla" significa esattamente "misura esterna nulla" e la misura esterna è l'inf delle misure dei ricoprimenti. Pj prende ricoprimenti finiti e Lebesgue li prende numerabilmente infiniti, e ricordo che nel caso di misura nulla i due concetti coincidono. Se vuoi possiamo provare a pensare ai dettagli.

[otta96]

"killing_buddha":Non lo avrei mai detto.

Idem.

[gugo82]

"otta96":[quote="killing_buddha"]Non lo avrei mai detto.

Idem.[/quote]
Beh, anch'io non sono molto convinto.

[killing_buddha]

A questo punto svelaci il mistero!

[Rigel1]

In effetti \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\) ha misura esterna di Peano-Jordan uguale a \(1\), mentre ha misura (esterna) di Lebesgue uguale a \(0\).

[dissonance]

Pardon, ho detto una scemenza.


P.S.: Mi confondevo con un'altra roba, che riguarda la misura di Hausdorff.

[gugo82]

@ dissonance:

Capita... Con 'sto caldo!

@Plinio78: Se non vado errato, in generale, dette $m_i$, $m_e$, $\mu_i$ e $\mu_e$ le misure interne ed esterne, rispettivamente, secondo Peano-Jordan e secondo Lebesgue, si ha:
\[
m_i(E)\leq \mu_i(E)\leq \mu_e(E)\leq m_e(E)
\]
per ogni $E\subseteq RR$ limitato, e ciò spiega immediatamente perché se un insieme $E$ è misurabile secondo Peano-Jordan allora esso è misurabile pure secondo Lebesgue (ed ha la stessa misura).
D'altra parte, la catena di disuguaglianze consente anche di capire che ci possono essere (ed in verità ce ne sono tanti!) insiemi misurabili secondo Lebesgue ma non misurabili secondo Peano-Jordan: infatti, il gap tra i membri interni (cioè $\mu_i(E)$ e $\mu_e(E)$) si può annullare pur non essendo nullo il gap tra i membri più esterni (i.e., $m_e(E)$ ed $m_i(E)$).