Misura nulla e integrabilità
Buonasera a tutti.
Ho una domanda, che mi è sorta al termine della lezione di Analisi II dell'altro giorno: è noto che se una funzione limitata $f: Omega subset RR^2 to RR$ è discontinua su un insieme $D$ di misura nulla, allora essa è integrabile.
Io chiedo: vale il viceversa? Se ho una funzione che so essere integrabile, posso concludere che è discontinua in un insieme di misura nulla?
Ho chiesto al prof e mi ha detto che non sapeva darmi una risposta certa, probabilmente non è vero perchè potrebbero esserci "compensazioni"; ho guardato su un po' di libri (Apostol, Pagani-Salsa e Rudin), ma non ho trovato quanto cercavo.
Al contrario del mio professore, io ho almeno un motivo per ritenere che la proposizione si possa invertire: infatti, da analisi I, ricordo che il cosiddetto teorema di Vitali-Lebesgue esprime una CNS per l'integrabilità: tuttavia, non vorrei che la dimensione >1 giocasse brutti scherzi...E magari in $RR^2$ la condizione è solo sufficiente.
Mi illuminate, per piacere?
Grazie.
P.S. Preciso che ho la seguente definizione di insieme di misura nulla: $A subset RR^2$ ha misura nulla se fissato $epsilon>0$, esiste un numero finito di rettangoli $R_k$ che ricoprono $A$ ($A subseteq uuu_(k=1)^n R_k$) tali che la somma delle loro aree non supera $epsilon$.
Ho una domanda, che mi è sorta al termine della lezione di Analisi II dell'altro giorno: è noto che se una funzione limitata $f: Omega subset RR^2 to RR$ è discontinua su un insieme $D$ di misura nulla, allora essa è integrabile.
Io chiedo: vale il viceversa? Se ho una funzione che so essere integrabile, posso concludere che è discontinua in un insieme di misura nulla?
Ho chiesto al prof e mi ha detto che non sapeva darmi una risposta certa, probabilmente non è vero perchè potrebbero esserci "compensazioni"; ho guardato su un po' di libri (Apostol, Pagani-Salsa e Rudin), ma non ho trovato quanto cercavo.
Al contrario del mio professore, io ho almeno un motivo per ritenere che la proposizione si possa invertire: infatti, da analisi I, ricordo che il cosiddetto teorema di Vitali-Lebesgue esprime una CNS per l'integrabilità: tuttavia, non vorrei che la dimensione >1 giocasse brutti scherzi...E magari in $RR^2$ la condizione è solo sufficiente.
Mi illuminate, per piacere?
Grazie.
P.S. Preciso che ho la seguente definizione di insieme di misura nulla: $A subset RR^2$ ha misura nulla se fissato $epsilon>0$, esiste un numero finito di rettangoli $R_k$ che ricoprono $A$ ($A subseteq uuu_(k=1)^n R_k$) tali che la somma delle loro aree non supera $epsilon$.
Risposte
Sì, il criterio di Vitali-Lebesgue vale anche in dimensione $n\ge 2$.
L'enunciato è il seguente:
L'enunciato è il seguente:
Sia $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ limitato e misurabile secondo Peano-Jordan, e sia $f:\Omega\to\mathbb{R}$ una funzione limitata.
Allora $f$ è integrabile secondo Riemann in $\Omega$ se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura nulla secondo Lebesgue.
Perfetto, Rigel, ti ringrazio molto per avermi tolto il dubbio.
Ne approfitto, se posso, per chiederti ancora una cosa: hai idea di dove posso trovare una dimostrazione dell'implicazione $f$ integrabile $=>$ $D$ insieme di discontinuità ha misura nulla?
Ci ho pensato un po' per conto mio, ma non penso sia alla mia portata, visto che non ho conoscenze di teoria della misura...
Ti ringrazio.
Ne approfitto, se posso, per chiederti ancora una cosa: hai idea di dove posso trovare una dimostrazione dell'implicazione $f$ integrabile $=>$ $D$ insieme di discontinuità ha misura nulla?
Ci ho pensato un po' per conto mio, ma non penso sia alla mia portata, visto che non ho conoscenze di teoria della misura...
Ti ringrazio.
Ci devo pensare un attimo; provo a vedere se trovo la dimostrazione da qualche parte (o forse si fa prima a ricostruirla; non dovrebbe essere molto diversa da quella valida per il caso unidimensionale).
Il fatto è che l'integrale di Riemann in più dimensioni e la misura di Peano-Jordan sono talmente inutili che in genere non ci si perde molto tempo...
Personalmente, sono ben contento di non averli mai dovuti studiare all'università
Il fatto è che l'integrale di Riemann in più dimensioni e la misura di Peano-Jordan sono talmente inutili che in genere non ci si perde molto tempo...
Personalmente, sono ben contento di non averli mai dovuti studiare all'università
"Rigel":
Ci devo pensare un attimo; provo a vedere se trovo la dimostrazione da qualche parte (o forse si fa prima a ricostruirla; non dovrebbe essere molto diversa da quella valida per il caso unidimensionale).
Dimostrazione che non ho mai studiato ma che so dove reperire (c'è sul mio libro di Analisi I).
Ammetto che mi sconvolgi un pochetto
quando dici:"Rigel":
Il fatto è che l'integrale di Riemann in più dimensioni e la misura di Peano-Jordan sono talmente inutili che in genere non ci si perde molto tempo...
Personalmente, sono ben contento di non averli mai dovuti studiare all'università
Posso chiederti dov'è la debolezza di questa impostazione di pensiero? Mi stai dicendo che gli integrali multipli e Peano-Jordan su cui ti fanno una testa così sono argomenti abbastanza "inutili"? Qual è l'impostazione "giusta"?
Immagino tu stia pensando a Lebesgue...
E' sempre un piacere discutere con te
Grazie.
@Paolo: Trovi qualcosa su Undergraduate analysis di Lang: capitolo XX, paragrafo 1, esercizi 4 e 5.
Ciao Paolo.
Premetto che queste cose per me sono abbastanza nuove quindi spero di non dire scemenze!
Secondo me la domanda è mal posta se non specifichi che tipo di misura intendi e di quale tipo di integrabilità parli: nota bene infatti il teorema citato da Rigel, dove si parla di integrabilità secondo Riemann e misura secondo Lebesgue.
Un insieme, infatti, può avere misura nulla secondo Lebesgue ma non avere misura nulla secondo Peano-Jordan.
Precisiamo:
$A subset RR^2$ ha misura nulla secondo Peano-Jordan (questa è la definizione che hai tu) se fissato $epsilon>0$, esiste un numero finito di rettangoli $R_k$ che ricoprono $A$ ($A subseteq uuu_(k=1)^n R_k$) tali che la somma delle loro aree non supera $epsilon$.
$A subset RR^2$ ha misura nulla secondo Lebesgue se fissato $epsilon>0$, esiste una successione di rettangoli $R_k$ che ricopre $A$ ($A subseteq uuu_(k=1)^ \infty R_k$) tali che $ \sum_{i=1}^ \infty R_k <= epsilon$.
Ho dato queste definizioni in $RR^2$ ma è lo stesso in $RR^n$, $n \in NN^+$, solo che si parla di volumi n-dimensionali invece che di aree.
Per esempio consideriamo $f: [-1,1] \to RR $ che vale $0$ in tutto $[-1,1]$ tranne che nei punti del tipo $ \frac{1}{n}, n \in NN^+$ dove vale $1$.
E' semplice controllare che l'insieme dei punti di discontinuità di questa funzione non ha misura nulla secondo Peano-Jordan però la sua misura secondo Lebesgue è nulla. Fissa $ \epsilon > 0$ e "ricopri" ogni punto di discontinuità $ \frac{1}{n} $ con un intervallino aperto di ampiezza $ \epsilon \frac{1}{2^{n+1}} $: come vedi la somma della serie è $ \frac { \epsilon }{2} < \epsilon $, quindi l'insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla secondo Lebesgue e, di conseguenza, per il teorema citato da Rigel, la funzione è Riemann integrabile.
Se c'è qualcosa che non ti torna dimmelo.
EDIT: mi sono sbagliato, l'insieme di cui sopra ha misura nulla anche secondo Peano-Jordan, come spiegato da yellow qui sotto.
Premetto che queste cose per me sono abbastanza nuove quindi spero di non dire scemenze!
"Paolo90":
hai idea di dove posso trovare una dimostrazione dell'implicazione $f$ integrabile $=>$ $D$ insieme di discontinuità ha misura nulla?
Secondo me la domanda è mal posta se non specifichi che tipo di misura intendi e di quale tipo di integrabilità parli: nota bene infatti il teorema citato da Rigel, dove si parla di integrabilità secondo Riemann e misura secondo Lebesgue.
Un insieme, infatti, può avere misura nulla secondo Lebesgue ma non avere misura nulla secondo Peano-Jordan.
Precisiamo:
$A subset RR^2$ ha misura nulla secondo Peano-Jordan (questa è la definizione che hai tu) se fissato $epsilon>0$, esiste un numero finito di rettangoli $R_k$ che ricoprono $A$ ($A subseteq uuu_(k=1)^n R_k$) tali che la somma delle loro aree non supera $epsilon$.
$A subset RR^2$ ha misura nulla secondo Lebesgue se fissato $epsilon>0$, esiste una successione di rettangoli $R_k$ che ricopre $A$ ($A subseteq uuu_(k=1)^ \infty R_k$) tali che $ \sum_{i=1}^ \infty R_k <= epsilon$.
Ho dato queste definizioni in $RR^2$ ma è lo stesso in $RR^n$, $n \in NN^+$, solo che si parla di volumi n-dimensionali invece che di aree.
Per esempio consideriamo $f: [-1,1] \to RR $ che vale $0$ in tutto $[-1,1]$ tranne che nei punti del tipo $ \frac{1}{n}, n \in NN^+$ dove vale $1$.
E' semplice controllare che l'insieme dei punti di discontinuità di questa funzione non ha misura nulla secondo Peano-Jordan però la sua misura secondo Lebesgue è nulla. Fissa $ \epsilon > 0$ e "ricopri" ogni punto di discontinuità $ \frac{1}{n} $ con un intervallino aperto di ampiezza $ \epsilon \frac{1}{2^{n+1}} $: come vedi la somma della serie è $ \frac { \epsilon }{2} < \epsilon $, quindi l'insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla secondo Lebesgue e, di conseguenza, per il teorema citato da Rigel, la funzione è Riemann integrabile.
Se c'è qualcosa che non ti torna dimmelo.
EDIT: mi sono sbagliato, l'insieme di cui sopra ha misura nulla anche secondo Peano-Jordan, come spiegato da yellow qui sotto.
@leonardo: grazie per la precisazione; in effetti vedo solo ora che paolo aveva riportato la definizione alla Peano-Jordan di insieme di misura nulla.
@paolo: in analisi si usa l'integrale di Lebesgue per degli ottimi motivi; per quanto mi riguarda, l'integrale di Riemann e la misura di Peano-Jordan sono più che altro curiosità storiche (attendo smentita di questa mia affermazione). Certo, se uno li conosce può maggiormente apprezzare poi il passaggio a integrale/misura di Lebesgue, ma onestamente, secondo me, se ne può fare anche a meno (soprattutto se poi, per i più vari motivi, l'integrale di Lebesgue non viene nemmeno trattato).
@paolo: in analisi si usa l'integrale di Lebesgue per degli ottimi motivi; per quanto mi riguarda, l'integrale di Riemann e la misura di Peano-Jordan sono più che altro curiosità storiche (attendo smentita di questa mia affermazione). Certo, se uno li conosce può maggiormente apprezzare poi il passaggio a integrale/misura di Lebesgue, ma onestamente, secondo me, se ne può fare anche a meno (soprattutto se poi, per i più vari motivi, l'integrale di Lebesgue non viene nemmeno trattato).
"Leonardo89":
Per esempio consideriamo $f: [-1,1] \to RR $ che vale $0$ in tutto $[-1,1]$ tranne che nei punti del tipo $ \frac{1}{n}, n \in NN^+$ dove vale $1$.
E' semplice controllare che l'insieme dei punti di discontinuità di questa funzione non ha misura nulla secondo Peano-Jordan
Mm perché, scusa? Ricopro con il segmentino $[0,epsilon/2]$ e restano soltanto un numero finito di punti. In particolare restano fuori soltanti quelli con $n<2/epsilon$. Ricoprendoli con segmenti di lunghezza $epsilon^2/4$ la somma totale dovrebbe essere minore di $epsilon$!
Sbaglio io? Sono argomenti appena visti (accennati), ma mi sembra che tra le altre cose sia stato detto che i punti di una successione convergente hanno misura nulla secondo Peano-Jordan.
Se tu prendi l'insieme dei razionali in $[-1,1]$, questo ha misura di Lebesgue nulla (essendo numerabile), ma se lo vuoi ricoprire con un numero finito di intervalli devi necessariamente ricoprire tutto $[-1,1]$.
Se però hai un insieme al più numerabile con solo un numero finito di punti di accumulazione (quindi, in particolare, rientra in questo caso anche l'immagine di una successione convergente), allora esso ha misura di PJ nulla (metti un intervallino di ampiezza $\epsilon$ attorno ad ogni punto di accumulazione etc etc).
Se però hai un insieme al più numerabile con solo un numero finito di punti di accumulazione (quindi, in particolare, rientra in questo caso anche l'immagine di una successione convergente), allora esso ha misura di PJ nulla (metti un intervallino di ampiezza $\epsilon$ attorno ad ogni punto di accumulazione etc etc).
Vi ringrazio per i vostri interventi.
Mi scuso per le mie imprecisioni, ma non ho mai fatto teoria della misura, quindi non so bene come esprimermi.
A lezione non abbiamo visto nulla su questi argomenti, se non appunto la definizione di insieme di misura nulla.
A questo punto però non ho capito. Il teorema di Vitali Lebesgue vale se considero solo la misura di Lebesgue e non quella di Peano-Jordan?
Se ho capito bene, la differenza tra queste due sta nel fatto che in PJ richiedo un numero finito di rettangoli, mentre in L posso considerare una successione di rettangoli.
Poichè un numero finito di rettangoli è una quantità numerabile, posso concludere che se l'insieme ha misura nulla secondo PJ allora ha misura nulla anche secondo L, giusto? Tuttavia non vale il viceversa, cioè esistono insiemi di misura nulla secondo L che hanno misura non nulla secondo PJ.
Corretto?
Grazie
Mi scuso per le mie imprecisioni, ma non ho mai fatto teoria della misura, quindi non so bene come esprimermi.
A lezione non abbiamo visto nulla su questi argomenti, se non appunto la definizione di insieme di misura nulla.
A questo punto però non ho capito. Il teorema di Vitali Lebesgue vale se considero solo la misura di Lebesgue e non quella di Peano-Jordan?
Se ho capito bene, la differenza tra queste due sta nel fatto che in PJ richiedo un numero finito di rettangoli, mentre in L posso considerare una successione di rettangoli.
Poichè un numero finito di rettangoli è una quantità numerabile, posso concludere che se l'insieme ha misura nulla secondo PJ allora ha misura nulla anche secondo L, giusto? Tuttavia non vale il viceversa, cioè esistono insiemi di misura nulla secondo L che hanno misura non nulla secondo PJ.
Corretto?
Grazie
Corretto.
Si capisce (abbastanza) bene vedendo proprio il caso dei razionali, che ho citato prima.
Indichiamo con $A$ l'insieme dei razionali di $(0,1)$. E' chiaro che questo non ha misura nulla secondo Peano-Jordan (la sua misura esterna secondo PJ è infatti $1$).
D'altra parte, $A$ ha misura nulla secondo Lebesgue. Un modo diretto per vederlo è questo (questo stesso argomento vale naturalmente per ogni insieme numerabile).
Fissato $\epsilon > 0$ costruiamo l'insieme $A_{\epsilon}$ dei razionali cicci (nel senso di grassi) di $(0,1)$, così definito.
Enumeriamo i razionali di $(0,1)$, diciamo $A = (r_n)_n$.
Per ogni $n$ consideriamo l'intervallo aperto $I_n = (r_n - \epsilon 2^{-n-1}, r_n +\epsilon 2^{-n-1})$, che è l'ingrassamento del razionale $r_n$ mediante un intervallo di ampiezza $\epsilon 2^{-n}$.
Poniamo infine $A_{\epsilon} = \cup_n I_n$. Abbiamo ovviamente che $A \subset A_{\epsilon}$.
Inoltre, per la subadditività della misura, abbiamo che
$m(A_{\epsilon}) \le \sum_{n=0}^{\infty} m(I_n) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^n} = 2\epsilon$.
Si capisce (abbastanza) bene vedendo proprio il caso dei razionali, che ho citato prima.
Indichiamo con $A$ l'insieme dei razionali di $(0,1)$. E' chiaro che questo non ha misura nulla secondo Peano-Jordan (la sua misura esterna secondo PJ è infatti $1$).
D'altra parte, $A$ ha misura nulla secondo Lebesgue. Un modo diretto per vederlo è questo (questo stesso argomento vale naturalmente per ogni insieme numerabile).
Fissato $\epsilon > 0$ costruiamo l'insieme $A_{\epsilon}$ dei razionali cicci (nel senso di grassi) di $(0,1)$, così definito.
Enumeriamo i razionali di $(0,1)$, diciamo $A = (r_n)_n$.
Per ogni $n$ consideriamo l'intervallo aperto $I_n = (r_n - \epsilon 2^{-n-1}, r_n +\epsilon 2^{-n-1})$, che è l'ingrassamento del razionale $r_n$ mediante un intervallo di ampiezza $\epsilon 2^{-n}$.
Poniamo infine $A_{\epsilon} = \cup_n I_n$. Abbiamo ovviamente che $A \subset A_{\epsilon}$.
Inoltre, per la subadditività della misura, abbiamo che
$m(A_{\epsilon}) \le \sum_{n=0}^{\infty} m(I_n) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^n} = 2\epsilon$.
@yellow e Rigel: grazie per avermi fatto notare la cretinata che ho scritto.
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