Misura nulla
ciao!
ho qualche dubbio sul concetto di misura nulla.
un insieme $D$ si dice misurabile secondo peano jordan se e solo se $|partialD|=0$ ovvero se $partialD$ è misurabile con misura nulla.
vorrei sapere un esempio,qualcosa che mi possa far capire il significato di $partial D$
ps.non mi ricordo che cosa indica il simbolo matematico $U_(i=1)^N$.......
ho qualche dubbio sul concetto di misura nulla.
un insieme $D$ si dice misurabile secondo peano jordan se e solo se $|partialD|=0$ ovvero se $partialD$ è misurabile con misura nulla.
vorrei sapere un esempio,qualcosa che mi possa far capire il significato di $partial D$
ps.non mi ricordo che cosa indica il simbolo matematico $U_(i=1)^N$.......
Risposte
"jestripa":
ps.non mi ricordo che cosa indica il simbolo matematico $U_(i=1)^N$.......
scusa, ma non e' semplicemnte l'unione indicizzata su i ?
"codino75":
[quote="jestripa"]
ps.non mi ricordo che cosa indica il simbolo matematico $U_(i=1)^N$.......
scusa, ma non e' semplicemnte l'unione indicizzata su i ?[/quote]
sisi, è l'unione indicizzata su i...
ciao
Ti addentri in un ginepraio ...
(1) La frontiera $\partial D$ di un insieme $D$,è l'insieme dei punti "a cavallo tra $D$ e il suo complementare:
rigorosamente un punto $x$ sta nella frontiera di $D$ se e solo se OGNI intorno di $x$ interseca sia $D$ che il
complementare di $D$.
Esempi:
$D=[a,b]\text{ oppure }]a,b]\text{ oppure }[a,b[ \text{ oppure }]a,b[$ (in $RR$), allora $\partial D={a,b}$;
(la frontiera di un intervallo sono gli estremi)
$D={x^2+y^2\leq 1} \text{ oppure } {x^2+y^2 < 1}$ (in $RR^2$), allora $\partial D={x^2+y^2 = 1}$
(la frontiera della palla è la sfera)
$D={\text{numeri razionali}}$ (in $RR$), allora $\partial D=RR$ !!!
(2) Mi pare dal tuo discorso che la misura sia nota a priori (altrimenti che senso avrebbe dire che $\partial D$ è
misurabile e ha misura nulla). Ritengo allora che tu abbia in mano la misura di Lebesque e che il tuo discorso si
riferisca alla CARATTERIZZAZIONE degli insiemi misurabili secondo Peano in termini della misura di Lebesgue.
Se le cose stanno così non è corretto dire:
(che sarebbe una definizione) - la (una ) definizione tradizione di insieme misurabile secondo Peano è :
$D$ si dice misurabile secondo Peano se e solo se per ogni $\epsilon>0$ esistono due plurirettangoli $P_1$ e $P_2$
tali che $P_1\subset D\subset P_2$ e $Mis(P_2 - P_1)<\epsilon$, dove un pluriterrangolo è un' unione finita di rettangoli
e la misura $Mis$ dei pluiritettangoli si definisce in modo elemetare.
In questo modo l'affermazione precedente diventa un teorema:
un insieme $D$ E' misurabile secondo Peano Jordan se e solo se $|∂D|=0$ ovvero se $∂D$ è misurabile con misura nulla.
Se si guarda la definizione di misura di Peano si intuisce il senso di questo teorema: in effetti se $P_1$ e $P_2$ sono come sopra
allora $\partial D\subset P_2 - P_1$. Dato che la misura di Lebesgue sui plurirettangoli coincide con quella elementare ne segue
$|\partial D|<\epsilon$ per ogni $\epsilon>0$ e quindi $|\partial D|=0$ (e si fa anche il viceversa ...)
(1) La frontiera $\partial D$ di un insieme $D$,è l'insieme dei punti "a cavallo tra $D$ e il suo complementare:
rigorosamente un punto $x$ sta nella frontiera di $D$ se e solo se OGNI intorno di $x$ interseca sia $D$ che il
complementare di $D$.
Esempi:
$D=[a,b]\text{ oppure }]a,b]\text{ oppure }[a,b[ \text{ oppure }]a,b[$ (in $RR$), allora $\partial D={a,b}$;
(la frontiera di un intervallo sono gli estremi)
$D={x^2+y^2\leq 1} \text{ oppure } {x^2+y^2 < 1}$ (in $RR^2$), allora $\partial D={x^2+y^2 = 1}$
(la frontiera della palla è la sfera)
$D={\text{numeri razionali}}$ (in $RR$), allora $\partial D=RR$ !!!
(2) Mi pare dal tuo discorso che la misura sia nota a priori (altrimenti che senso avrebbe dire che $\partial D$ è
misurabile e ha misura nulla). Ritengo allora che tu abbia in mano la misura di Lebesque e che il tuo discorso si
riferisca alla CARATTERIZZAZIONE degli insiemi misurabili secondo Peano in termini della misura di Lebesgue.
Se le cose stanno così non è corretto dire:
un insieme $D$ si dice misurabile secondo peano jordan se e solo se $|∂D|=0$ ovvero se $∂D$ è misurabile con misura nulla.
(che sarebbe una definizione) - la (una ) definizione tradizione di insieme misurabile secondo Peano è :
$D$ si dice misurabile secondo Peano se e solo se per ogni $\epsilon>0$ esistono due plurirettangoli $P_1$ e $P_2$
tali che $P_1\subset D\subset P_2$ e $Mis(P_2 - P_1)<\epsilon$, dove un pluriterrangolo è un' unione finita di rettangoli
e la misura $Mis$ dei pluiritettangoli si definisce in modo elemetare.
In questo modo l'affermazione precedente diventa un teorema:
un insieme $D$ E' misurabile secondo Peano Jordan se e solo se $|∂D|=0$ ovvero se $∂D$ è misurabile con misura nulla.
Se si guarda la definizione di misura di Peano si intuisce il senso di questo teorema: in effetti se $P_1$ e $P_2$ sono come sopra
allora $\partial D\subset P_2 - P_1$. Dato che la misura di Lebesgue sui plurirettangoli coincide con quella elementare ne segue
$|\partial D|<\epsilon$ per ogni $\epsilon>0$ e quindi $|\partial D|=0$ (e si fa anche il viceversa ...)
"ViciousGoblinEnters":
Mi pare dal tuo discorso che la misura sia nota a priori (altrimenti che senso avrebbe dire che $\partial D$ è
misurabile e ha misura nulla). Ritengo allora che tu abbia in mano la misura di Lebesque e che il tuo discorso si
riferisca alla CARATTERIZZAZIONE degli insiemi misurabili secondo Peano in termini della misura di Lebesgue.
Non è necessario. E' necessario, se vuoi usare questa definizione, che però tu dica prima:
"un insieme ha misura nulla se ha misura esterna nulla".
Quindi prima devi avere almeno la definizione di misura esterna (spero ti abbiano detto che cos'è).
Non serve parlare di misura di Lebesgue, a meno che tu non lo voglia.
E' raro però usare quest'asserto come definizione. Di solito si danno definizioni come quella che ti ha dato ViciousGoblin e poi si ricava questa proposizione come teorema.
Venendo al significato intuitivo, beh non è molto difficile. Quando tu cerchi di misurare un insieme cominci ad approssimarlo con piastrelle che lo ricoprono completamente dall'esterno e dall'interno. Poi rimpicciolisci sempre di più la dimensione delle piastrelle fino a che all'infinito non vengono a coincidere. Affinchè il procedimento riesca il bordo non deve contare nulla, cioè deve avere misura nulla. Spiegazione intuitiva schifosissima...
[size=75]P.S.: Su una semplice e rigorosa introduzione alla misura di Peano-Jordan, ti consiglierei un'appendice al Vangelo secondo Ermanno (è stato definito vangelo...), ma dubito che nella tua città si trovi in biblioteca ed è pure fuori commercio.[/size]
Concordo pienamente che basta la misura esterna per tutto quanto sopra.
Quello che volevo mettere in evidenza era che la definizione proposta nel primo post richiede una nozione preliminare di misura ( o misura esterna)
in grado di misurare la frontiera di $D$, la qual cosa mi è sembrata strana.
Ho ritenuto quindi che la domanda fosse stata formulata male e ho cercato di spiegare come avrei preso io la questione.
Quello che volevo mettere in evidenza era che la definizione proposta nel primo post richiede una nozione preliminare di misura ( o misura esterna)
in grado di misurare la frontiera di $D$, la qual cosa mi è sembrata strana.
Ho ritenuto quindi che la domanda fosse stata formulata male e ho cercato di spiegare come avrei preso io la questione.
scusate ma $R\Q$ e l'insieme di Cantor sono misurabili secondo questa definizione??
un insieme $D$ e' misurabile secondo Peano Jordan se e solo se $|∂D|=0$ ovvero se $∂D$ è misurabile con misura nulla.
Mi sa di avere detto una grossa stupidaggine. Ricordavo il teorema per cui una funzione è Riemann-integrabile se e solo se ha un insieme
trascurabile (secondo Lebesgue) di punti di discontinuità e ho ritenuto a occhio che la questione sopra fosse analoga.
In questo momento sono convinto del contrario, dopo l'osservazione di alberto86. Chiedo venia.
Alla fin fine l'unico enunciato che mi sembra vero è:
un insieme $D$ e' misurabile secondo Peano Jordan se e solo se la sua frontiera è misurabile (secondo J.P.) e ha misura nulla
(quindi una questione interna all misura di Peano)
Eeeps .. ritratto le mie scuse.
La caratterizzazione:
un insieme $D$ e' misurabile secondo Peano Jordan se e solo se |$∂D|=0$ ovvero se $∂D$ è misurabile con misura nulla
(ovvero se $\partial D$ ha misura esterna nulla)
è perfettamente valida. Infatti la misurabilità secondo Peano di $D$ equivale all'integrabilità secondo Riemann dell'indicatrice di $D$ e
quest'ultima proprietà equivale al fatto che l'indicatrice sia continua quasi ovunque. Dato che i punti di discontinuità dell'indicatrice di $D$ sono
esattamente i punti della frontiera di $D$ il teorema vale.
Quindi, inaspettatamente per me, l'insieme di Cantor (ternario) è misurabile secondo Peano così come ogni altro chiuso di misura nulla.
Sperando di non aver preso un abbaglio....
Non ho capito invece qual è l'altro insieme a cui si riferisce alberto86 ($RQ$ ??)
La caratterizzazione:
un insieme $D$ e' misurabile secondo Peano Jordan se e solo se |$∂D|=0$ ovvero se $∂D$ è misurabile con misura nulla
(ovvero se $\partial D$ ha misura esterna nulla)
è perfettamente valida. Infatti la misurabilità secondo Peano di $D$ equivale all'integrabilità secondo Riemann dell'indicatrice di $D$ e
quest'ultima proprietà equivale al fatto che l'indicatrice sia continua quasi ovunque. Dato che i punti di discontinuità dell'indicatrice di $D$ sono
esattamente i punti della frontiera di $D$ il teorema vale.
Quindi, inaspettatamente per me, l'insieme di Cantor (ternario) è misurabile secondo Peano così come ogni altro chiuso di misura nulla.
Sperando di non aver preso un abbaglio....
Non ho capito invece qual è l'altro insieme a cui si riferisce alberto86 ($RQ$ ??)
l'insieme di Cantor ha misura nulla secondo Lebesgue..volevo scrivere R\Q i reali privati dei razionali..
volevo scrivere R\Q i reali privati dei razionali
allora quello non è misurabile secondo Peano, dato che la sua frontiera è tutto $RR$, che non ha misura nulla.
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