Misura insiemi

[JDM89]

Ciao a tutti, ho un problema con la seconda parte di questo esercizio:
si consideri $ AA nin N $ l'insieme An= $ {(x,y)in R^2:-1 Quanto vale $ mu (A_n) $ . Il risultato dovrebbe essere 2. L'ho calcolato applicando il teorema di Tonelli.
Poi mi chiede: identificare l'insieme $ uu An $ ;è vero che $ mu(uu A_n)=lim_(n -> oo) mu(A_n) $ . Qualcuno può aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

Do per scontanto che \(\mu\) sia la misura di Lebesgue sui boreliani di \(\mathbb{R}^2\). Avresti \[\mu(A_n)=\int_{-1}^1 \left( \int_{x/n}^1 \, dy \right) dx = \int_{-1}^1 \left( 1 - \frac{x}{n} \right) \, dx = x \Big|_{-1}^1 - \frac{x^2}{2n} \Big|_{-1}^1 = 2 \]Mi sembra che se \(n \to \infty\), \(A_n\) diventa il rettangolo di vertici \((-1,0), \ (1,0), \ (1,1), \ (-1,1)\) (includo anche punti e frontiera visto che sono insiemi di misura \(2\)-dimensionale nulla), e mi sembra altresì che in generale \(A_n\) non contenga propriamente gli \(A_i, \ i=1, \dots, n-1\), e che quindi non si possa utilizzare la continuità dal basso della misura. Facendo un paio di disegni mi sono reso conto che \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \) è un poligono che certamente contiene l'unione tra il rettangolo di vertici \((-1,0), \ (1,0), \ (1,1), \ (-1,1)\) ed il triangolo di vertici \((-1,-1), \ (0,0), \ (-1,0)\) (continuo impropriamente ad includere vertici e frontiere); di conseguenza \(\mu(\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n ) \ge 2+ 1/2\), contro \(\lim_n \mu(A_n)=2\).

Prova a vedere se ti torna.

[JDM89]

"Delirium":Do per scontanto che \(\mu\) sia la misura di Lebesgue sui boreliani di \(\mathbb{R}^2\). Avresti \[\mu(A_n)=\int_{-1}^1 \left( \int_{x/n}^1 \, dy \right) dx = \int_{-1}^1 \left( 1 - \frac{x}{n} \right) \, dx = x \Big|_{-1}^1 - \frac{x^2}{2n} \Big|_{-1}^1 = 2 \]Mi sembra che se \(n \to \infty\), \(A_n\) diventa il rettangolo di vertici \((-1,0), \ (1,0), \ (1,1), \ (-1,1)\) (includo anche punti e frontiera visto che sono insiemi di misura \(2\)-dimensionale nulla), e mi sembra altresì che in generale \(A_n\) non contenga propriamente gli \(A_i, \ i=1, \dots, n-1\), e che quindi non si possa utilizzare la continuità dal basso della misura. Facendo un paio di disegni mi sono reso conto che \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \) è un poligono che certamente contiene l'unione tra il rettangolo di vertici \((-1,0), \ (1,0), \ (1,1), \ (-1,1)\) ed il triangolo di vertici \((-1,-1), \ (0,0), \ (-1,0)\) (continuo impropriamente ad includere vertici e frontiere); di conseguenza \(\mu(\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n ) \ge 2+ 1/2\), contro \(\lim_n \mu(A_n)=2\).

Prova a vedere se ti torna.

Grazie mille, sei stato chiarissimo.