Misura esterna di Lebesgue e numerabile subadditività

[Moralizzatore]

Salve gente, ultimamente mi sto "affacciando" alla parte del mio programma di Analisi II circa la teoria delle misure e non nascondo che mi sto trovando veramente in difficoltà a dare un senso a diversi concetti, vista la scarsa intuitività della disciplina. Senza perdere ulteriore tempo, ho nel programma la dimostrazione del fatto che la misura esterna di Lebesgue goda della proprietà citata nel titolo. Aperti gli appunti presi a lezione, li ho immediatamente richiusi perché le spiegazioni del mio prof sono incomprensibili, e di conseguenza sono andato a cercare qualcosa su internet, e ho trovato questo link:

http://mathonline.wikidot.com/countable-subadditivity-of-the-lebesgue-outer-measure

Che sembra seguire la dimostrazione vista in classe. Tuttavia anche qui mi perdo qualche punto:

Perché questo è vero?

$\cdot \sum_{m=1}^\infty l(I_{n,m}) < m*(A_n) + \epsilon_o$

Riuscendo a convincermi di questo, tutto il rimanente mi torna perfettamente chiaro, ma se guardo la definizione di misura esterna di Lebesgue, io avrei piuttosto affermato il contrario, cioè che $\sum_{m=1}^\infty l(I_{n,m}) + \epsilon_o \geq m*(A_n) $

Non riesco nemmeno a fare un tentativo di spiegazione, il ché mi lascia piuttosto perplesso :/

Delucidazioni?

[Moralizzatore]

Nessuna idea?

[Mathita]

Lascia perdere gli up prima delle 24 ore, sono contrari al regolamento del forum. In ogni caso è una proprietà dell'estremo inferiore (è il più grande dei minoranti). Ciò garantisce che per ogni $\varepsilon>0$ riesci a trovare una famiglia di intervalli $(I_{n, m})$ la cui unione ricopre l'insieme $A_n$ e tale che $\sum_{m=1}^{\infty}l(I_{n,m})

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[Moralizzatore]

Grazie per la risposta, è davvero delucidante. Per l'up, terrò bene a mente!