Misura di un insieme in $RR^3$ (esercizio)
Salve, a breve ho l'esame di analisi sulle funzioni in più variabili e l'integrale di Lebesgue. Esercitandomi ho trovato questo:
Si stabilisca se l'insieme $E = \{ (x,y,z) t.c. x^2<=z<=x-y^2\}$ ha misura finita e nel caso calcolarla
Dal momento che gli altri insiemi su cui mi sono esercitato finora sono sempre stati definiti con disequazioni del tipo $f(x,y,z)<=a$ con $a in RR$ ovvero ho sempre trovato abbastanza facilmente gli estremi di una variabile e il modo di scrivere le altre variabili in funzione di essa (del tipo che l'insieme E è definito come $0<=x<=1$ e altre disuguaglianze dipendenti da x) mi sono trovato un po' spiazzato.
allora ho scritto
$x^2<= x-y^2 -> x^2<=x -> 0 <=x<=1$
Questa disuguaglianza è sicuramente vera, ma mi è preso un dubbio, che ne so io che x va tra 0 e 1? voglio dire, so di sicuro che $x^2 <=x-y^2$ ma se ad esempio y variasse tra $sqrt(0,5)$ e $sqrt(0,6)$, allora non potrei più scrivere $0<=x<=1$, o meglio, sarebbe giusta, ma in realtà sarebbe più giusto scrivere $x^2<=x-0,5$ che porta ad un'altra disequazione.
Allo stesso modo
se scrivo $x^2
Infatti se scrivo
$0<=x<=1$
posso dire
$0<=z<=x$ (da $x^2<=z<=x-y^2 -> 0<=z<= x$)
e infine
$-sqrtx<=y<=sqrtx$ (da $0<= x-y^2$)
sono tutte disuguaglianze giuste, ovvero l'insieme E è contenuto di sicuro dentro questo insieme così definito, ma che ne so che sono uguali? magari ho allargato troppo e quindi sto calcolando la misura di un insieme troppo grande. Aiutooooo
Si stabilisca se l'insieme $E = \{ (x,y,z) t.c. x^2<=z<=x-y^2\}$ ha misura finita e nel caso calcolarla
Dal momento che gli altri insiemi su cui mi sono esercitato finora sono sempre stati definiti con disequazioni del tipo $f(x,y,z)<=a$ con $a in RR$ ovvero ho sempre trovato abbastanza facilmente gli estremi di una variabile e il modo di scrivere le altre variabili in funzione di essa (del tipo che l'insieme E è definito come $0<=x<=1$ e altre disuguaglianze dipendenti da x) mi sono trovato un po' spiazzato.
allora ho scritto
$x^2<= x-y^2 -> x^2<=x -> 0 <=x<=1$
Questa disuguaglianza è sicuramente vera, ma mi è preso un dubbio, che ne so io che x va tra 0 e 1? voglio dire, so di sicuro che $x^2 <=x-y^2$ ma se ad esempio y variasse tra $sqrt(0,5)$ e $sqrt(0,6)$, allora non potrei più scrivere $0<=x<=1$, o meglio, sarebbe giusta, ma in realtà sarebbe più giusto scrivere $x^2<=x-0,5$ che porta ad un'altra disequazione.
Allo stesso modo
se scrivo $x^2
Infatti se scrivo
$0<=x<=1$
posso dire
$0<=z<=x$ (da $x^2<=z<=x-y^2 -> 0<=z<= x$)
e infine
$-sqrtx<=y<=sqrtx$ (da $0<= x-y^2$)
sono tutte disuguaglianze giuste, ovvero l'insieme E è contenuto di sicuro dentro questo insieme così definito, ma che ne so che sono uguali? magari ho allargato troppo e quindi sto calcolando la misura di un insieme troppo grande. Aiutooooo
Risposte
"Zkeggia":
Salve, a breve ho l'esame di analisi sulle funzioni in più variabili e l'integrale di Lebesgue. Esercitandomi ho trovato questo:
Si stabilisca se l'insieme $E = \{ (x,y,z) t.c. x^2<=z<=x-y^2\}$ ha misura finita e nel caso calcolarla
Dal momento che gli altri insiemi su cui mi sono esercitato finora sono sempre stati definiti con disequazioni del tipo $f(x,y,z)<=a$ con $a in RR$ ovvero ho sempre trovato abbastanza facilmente gli estremi di una variabile e il modo di scrivere le altre variabili in funzione di essa (del tipo che l'insieme E è definito come $0<=x<=1$ e altre disuguaglianze dipendenti da x) mi sono trovato un po' spiazzato.
In effetti, anche se un po' mascherate, qui hai un insieme definito da tre limitazioni, ossia [tex]$x^2\leq x-y^2$[/tex], [tex]$x^2\leq z$[/tex] e [tex]$z\leq x-y^2$[/tex].
Quindi [tex]$E$[/tex] è il cilindroide compreso tra i grafici delle funzioni [tex]$f:(x,y)\mapsto x^2$[/tex] e [tex]$g:(x,y)\mapsto x-y^2$[/tex] ristrette all'insieme di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] in cui risulta [tex]$x^2\leq x-y^2$[/tex].
Visto che le due funzioni [tex]$f,\ g$[/tex] sono continue, un buon modo per provare che [tex]$E$[/tex] ha misura finita è verificare se l'insieme [tex]$D$[/tex] individuato da [tex]$x^2\leq x-y^2$[/tex] (ossia la base del cilindroide) è compatto in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
"Zkeggia":
allora ho scritto
$x^2<= x-y^2 -> x^2<=x -> 0 <=x<=1$
Qui non capisco la logica... La disuguaglianza [tex]$x^2\leq x-y^2$[/tex] individua una ben precisa regione [tex]$D$[/tex] del piano [tex]$Oxy$[/tex]. Disegnala e vedi se essa è compatta, come si diceva sopra.
Se quell'insieme è compatto, allora [tex]$E$[/tex] è misurabile e la sua misura è data dall'integrale triplo [tex]$\iiint_E \text{ d} z\text{ d} y\text{ d}z$[/tex]; visto che [tex]$E$[/tex] è un cilindroide di base [tex]$D$[/tex], le formule di riduzione consentono di scrivere l'integrale di volume come:
[tex]$\iint_D \left\{ \int_{f(x,y)}^{g(x,y)} \text{ d}z\right\} \text{ d} x\text{ d} y=\iint_D \left[ g(x,y)-f(x,y)\right]\text{ d}x\text{ d} y$[/tex]...
Ora continua tu.
quindi posso scrivere che l'integrale in $dz$ da $x-y^2-x^2$ e poi? sono perso perché non capisco alla fine dove trovo il numero, nel senso che non riesco ad arrivare ad una condizione del tipo x varia tra 0 e 1... una mano? 
se passo in coordinate polari ottengo qualcosa?
se passo in coordinate polari ottengo qualcosa?
Devi lavorare su questa disuguaglianza [tex]$x^2\leq x-y^2$[/tex] per determinare [tex]$D$[/tex]; poi l'integrale diventa un semplice integrale doppio che ne avrai fatti di simili millemila volte.
Ad esempio, se porti tutto a sinistra trovi [tex]$x^2-x+y^2\leq 0$[/tex] che si può completare ad una somma di quadrati per ottenere l'equazione di una notissima figura geometrica... (Questo è un hint grossissimo; praticamente ti ho risolto l'esercizio.
)
Ad esempio, se porti tutto a sinistra trovi [tex]$x^2-x+y^2\leq 0$[/tex] che si può completare ad una somma di quadrati per ottenere l'equazione di una notissima figura geometrica... (Questo è un hint grossissimo; praticamente ti ho risolto l'esercizio.
)
mmh ... ora ci divento scemo, sarà che è abbastanza tardi ma non riesco a trovare alcun estremo di integrazione, tranne, in coordinate polari
$r <= cosalpha$ ma che non mi porta da nessuna parte...
o forse $(x+1)^2 +y^2 +2x -1 <=0$ che assomiglia molto a un ellisse... booooh
$r <= cosalpha$ ma che non mi porta da nessuna parte...
o forse $(x+1)^2 +y^2 +2x -1 <=0$ che assomiglia molto a un ellisse... booooh
È abbastanza banale...
Hai [tex]$x^2-x+y^2\leq 0$[/tex]; aggiungendo ad ambo i membri [tex]$\frac{1}{4}$[/tex], trovi:
[tex]$x^2-x+\frac{1}{4}+y^2\leq \frac{1}{4}$[/tex]
ossia:
[tex]$\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2\leq \frac{1}{4}$[/tex].
Quindi [tex]$D$[/tex] è il cerchio chiuso di centro [tex]$\left( \frac{1}{2} ,0\right)$[/tex] di raggio [tex]$\frac{1}{2}$[/tex].
[asvg]xmin=-1;xmax=2;ymin=-1.5;ymax=1.5;
axes("labels","grid");
fill="dodgerblue";
circle([0.5,0],0.5);[/asvg]
Hai [tex]$x^2-x+y^2\leq 0$[/tex]; aggiungendo ad ambo i membri [tex]$\frac{1}{4}$[/tex], trovi:
[tex]$x^2-x+\frac{1}{4}+y^2\leq \frac{1}{4}$[/tex]
ossia:
[tex]$\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2\leq \frac{1}{4}$[/tex].
Quindi [tex]$D$[/tex] è il cerchio chiuso di centro [tex]$\left( \frac{1}{2} ,0\right)$[/tex] di raggio [tex]$\frac{1}{2}$[/tex].
[asvg]xmin=-1;xmax=2;ymin=-1.5;ymax=1.5;
axes("labels","grid");
fill="dodgerblue";
circle([0.5,0],0.5);[/asvg]
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