Misura di un insieme E

Fai una domanda Tutte le categorie

gbspeedy

15 gen 2013, 15:40

l'insieme $E={(x,y)inR^2:|y|

Risposte

ciampax

15 gen 2013, 14:42

Idee su come procedere? io vedrei di riscrivere per bene la definizione del dominio, considerando che

$\max(a,b)=a$ se $a\ge b$
$\max(a,b)=b$ se $b>a$.

gbspeedy

15 gen 2013, 14:47

$E={(x,y)inR^2: |x|>e,|y|<1}uu{(x,y)inR^2: |x|

ciampax

15 gen 2013, 14:51

Non mi torna: la condizione

$1>1/\log^2 |x|$ equivale a $\log^2 |x|<1$ e quindi $-1<\log|x|< 1$ da cui $e^{-1}<|x|
A questo punto, puoi verificare se i due insiemi che trovi siano misurabili o meno, scrivendo l'integrale che rappresenta la loro misura (e che puoi anche pensare come integrale in una variabile, visto che puoi dare limitazioni dirette alla $x$ e alla $y$).

P.S.: per semplificare il tutto, osserva che a causa dei valori assoluti, $E$ è costituita da 4 parti congruenti ciascuna in uno dei quadranti. Pertanto, puoi ridurti a vedere cosa accade sul primo quadrante, dove $|x|=x,\ |y|=y$ e da lì moltiplicare il ragionamento per 4.

gbspeedy

15 gen 2013, 15:24

"gbspeedy":
$E={(x,y)inR^2: |x|e,|y|<1,|x|!=0}uu{(x,y)inR^2: e^-1<|x|

è giusto?

ciampax

15 gen 2013, 20:14

No, è il contrario: quando $e^{-1}<|x|

gbspeedy

15 gen 2013, 22:46

"ciampax":
Non mi torna: la condizione

$1>1/\log^2 |x|$ equivale a $\log^2 |x|<1$ e quindi $-1<\log|x|< 1$ da cui $e^{-1}<|x|
A questo punto, puoi verificare se i due insiemi che trovi siano misurabili o meno, scrivendo l'integrale che rappresenta la loro misura (e che puoi anche pensare come integrale in una variabile, visto che puoi dare limitazioni dirette alla $x$ e alla $y$).

P.S.: per semplificare il tutto, osserva che a causa dei valori assoluti, $E$ è costituita da 4 parti congruenti ciascuna in uno dei quadranti. Pertanto, puoi ridurti a vedere cosa accade sul primo quadrante, dove $|x|=x,\ |y|=y$ e da lì moltiplicare il ragionamento per 4.

ma $1>1/\(log |x|)^2$ non equivale a $\(log |x|)^2>1$?

ciampax

16 gen 2013, 12:34

No, equivale a $(\log|x|)^2<1$... Se $x>y$ allora $1/x<1/y$, non ti pare?

gbspeedy

16 gen 2013, 15:50

se $x(=1) > y(=1/(log|x|)^2)$ allora $1/x(=1)<1/y(=(log|x|)^2)$

ciampax

16 gen 2013, 18:22

Sì, vabbé, lascia stare, sono un cretino. Ero convinto di scrivere le disuguaglianze diverse.... ma non premevo shift! Stendiamo un velo pietoso su me stesso!

gbspeedy

16 gen 2013, 19:31

"ciampax":
Non mi torna: la condizione

$1>1/\log^2 |x|$ equivale a $\log^2 |x|<1$ e quindi $-1<\log|x|< 1$ da cui $e^{-1}<|x|
A questo punto, puoi verificare se i due insiemi che trovi siano misurabili o meno, scrivendo l'integrale che rappresenta la loro misura (e che puoi anche pensare come integrale in una variabile, visto che puoi dare limitazioni dirette alla $x$ e alla $y$).

P.S.: per semplificare il tutto, osserva che a causa dei valori assoluti, $E$ è costituita da 4 parti congruenti ciascuna in uno dei quadranti. Pertanto, puoi ridurti a vedere cosa accade sul primo quadrante, dove $|x|=x,\ |y|=y$ e da lì moltiplicare il ragionamento per 4.

se mi riduco al primo quadrante ottengo che $E_1$ è formato da una regione limitata $(0,1/e)*(0,1)$ più una illimitata $(e,+oo)*(0,1)$ ma come faccio a calcolare la misura della seconda regione?
anche $E_2$ è illimitata

ciampax

16 gen 2013, 20:00

Devi verificare se sono integrabili: ergo capire se gli integrali che calcoli sono finiti o meno. Mai affrontato integrali impropri?

gbspeedy

16 gen 2013, 20:42

sì,ma li ho visti quando mi dava la funzione f definita su E,qui devo usarlo per calcolare la misura di E ma non ho capito come

ciampax

16 gen 2013, 21:07

Bé, come ti dicevo prima, tu qui ti trovi in una situazione per cui puoi dire $x\in I$ con $I$ intervallo o unione di intervalli tutti contenuti in $(0,+\infty)$ e con $0\le y\le f(x)$ (come ti dicevo, a causa della simmetria considera solo il primo quadrante). Pertanto, puoi riportare il tutto al calcolo di un integrale in una variabile (oppure di due variabili, che diventa)

$\int_I \int_0^{f(x)} \dy\ dx=\int_I f(x)\ dx$