Misura di un insieme....
Salve a tutti,
ho qualche dubbio sul significato di misura e funzione misurabile....
Dato un sample space, si puo' associare ad ciascun sottoinsieme di questo sample space una probabilita' che coincide con la misura.
Se il sample space e' discreto, composto da un numero finito di punti, allora non c'e' problema. Se invece il sample space e' continuo, allora non si puo' associare a tutti i sottoinsiemi una probabilita'...
Perche'?
antennaboy
ho qualche dubbio sul significato di misura e funzione misurabile....
Dato un sample space, si puo' associare ad ciascun sottoinsieme di questo sample space una probabilita' che coincide con la misura.
Se il sample space e' discreto, composto da un numero finito di punti, allora non c'e' problema. Se invece il sample space e' continuo, allora non si puo' associare a tutti i sottoinsiemi una probabilita'...
Perche'?
antennaboy
Risposte
la frase scritta così ed incompleta dice poco: forse puoi dire che devono esserci necessariamente sottoinsiemi non vuoti a cui bisogna associare una probabilità nulla, quindi se metti "diversa da zero" al posto dei puntini ...
questo è piuttosto evidente se la misura dell'insieme deve essere finita, come lo è ad esempio una misura di probabilità: una sommatoria di infiniti termini non nulli e non infinitesimi è infinita.
spero di essere stata utile.
cerca di esporre il problema in maniera più completa. ciao.
questo è piuttosto evidente se la misura dell'insieme deve essere finita, come lo è ad esempio una misura di probabilità: una sommatoria di infiniti termini non nulli e non infinitesimi è infinita.
spero di essere stata utile.
cerca di esporre il problema in maniera più completa. ciao.
Grazie AdaBTTLS.
purtroppo sto navigando un po' nella confusione.
Quindi:
abbiamo una collezione di sottoinsiemi di un insieme A. A tali sottoinsiemi possiamo assegnare una misura (una probabilita'). Certi sottoinsiemi non vuoti hanno misura zero tu dici....
Chiaramente, una somma di infiniti termini finiti sara' infinita e questo non va bene in probabilita' visto che la somma deve essere finita ed uguale ad 1, dove 1 e' la misura dell' insieme A.
Ma quali sono insiemi non vuoti con misura zero? Mi sembra un concetto strano....
Per esempio nel caso di una variabile aleatoria continua, la probabilita' esiste solo su un intervallo (area della pdf). La probabilita' di un singolo valore della variabile e' zero..... Come si riallaccia questo discorso col fatto che certi intervalli, non vuoti, hanno misura zero?
Capisco che certi intervalli non hanno addirittura misura (sono patologici). Ma la maggior parte ha misura.
purtroppo sto navigando un po' nella confusione.
Quindi:
abbiamo una collezione di sottoinsiemi di un insieme A. A tali sottoinsiemi possiamo assegnare una misura (una probabilita'). Certi sottoinsiemi non vuoti hanno misura zero tu dici....
Chiaramente, una somma di infiniti termini finiti sara' infinita e questo non va bene in probabilita' visto che la somma deve essere finita ed uguale ad 1, dove 1 e' la misura dell' insieme A.
Ma quali sono insiemi non vuoti con misura zero? Mi sembra un concetto strano....
Per esempio nel caso di una variabile aleatoria continua, la probabilita' esiste solo su un intervallo (area della pdf). La probabilita' di un singolo valore della variabile e' zero..... Come si riallaccia questo discorso col fatto che certi intervalli, non vuoti, hanno misura zero?
Capisco che certi intervalli non hanno addirittura misura (sono patologici). Ma la maggior parte ha misura.
"antennaboy":Ahia... Assolutamente no. Questo lo credevano gli antichi Greci ma oggi si usano sistematicamente le somme di infiniti addendi: avrai certamente visto qualche serie, come questa:
Chiaramente, una somma di infiniti termini finiti sara' infinita
$e^x=sum_{n=0}^infty \frac{x^n}{n!}$.
Ma quali sono insiemi non vuoti con misura zero? Mi sembra un concetto strano....Non è tanto strano. "La" misura per antonomasia è la misura di Lebesgue degli spazi $RR^n$: nel piano ad esempio si tratta della generalizzazione del concetto di "area" di una figura geometrica. Ora prendi un quadrato di lato $1$, come questo: [asvg]xmin=0; xmax=1.05; ymin=0; ymax=1; axes();stroke="red"; rect([0,0], [1, 1]); text([1, 1], "P", right);[/asvg]. E' chiaro che ha misura $1$. Ora immagina di fare scorrere il punto $P$ verso sinistra parallelamente all'asse $x$. Arrivato a metà percorso avrai un rettangolo: [asvg]xmin=0; xmax=1.05; ymin=0; ymax=1; axes(); stroke="red";rect([0,0], [0.5, 1]); text([0.5, 1], "P", right);[/asvg]di misura $1/2$. Continua a scorrere e la misura della figura andrà via via decrescendo, fino a che non ti ritrovi con un segmento: [asvg]xmin=0; xmax=1.05; ymin=0; ymax=1; axes(); stroke="red";line([0,0], [0, 1]); text([0, 1], "P", right);[/asvg]Quale può essere la misura di questo segmento se non $0$?
Capisco che certi intervalli non hanno addirittura misura (sono patologici). Ma la maggior parte ha misura.Non devi parlare di "intervalli" ma di sottoinsiemi. Ad esempio con la misura di Lebesgue su $RR$ tutti gli intervalli hanno misura ma ci sono sottoinsiemi (delle schifezze assolutamente non disegnabili, si intende) ai quali non si può proprio attribuire una misura senza incappare in paradossi. Non è una questione banale però.
prego.
leggo ora le precisazioni di dissonance. aggiungo che appunto non hai usato il termine "infinitesimo":
ritornando un po' più "terra-terra", provo a riprendere il discorso sulla misura di probabilità.
se sei nel continuo, ogni insieme discreto ha misura zero.
pensa ad un segmento di lunghezza 1: quanto misura (cioè quanto è lungo) un punto? ed un insieme finito di punti? qual è la probabilità, scegliendo a caso un numero reale compreso tra 0 ed 1, di scegliere il numero 0,1234567890000001 ?
spesso si lavora con aree. il punto di riferimento è un quadrato di lato 1. un sottoinsieme è una generica figura piana, compreso un insieme sconnesso di punti isolati: qual è la probabilità di scegliere a caso un punto che dista 1 da un vertice del quadrato? piuttosto ci si chiede qual è la probabilità di scegliere un punto che dista dal vertice non più di 1...
leggo ora le precisazioni di dissonance. aggiungo che appunto non hai usato il termine "infinitesimo":
ritornando un po' più "terra-terra", provo a riprendere il discorso sulla misura di probabilità.
se sei nel continuo, ogni insieme discreto ha misura zero.
pensa ad un segmento di lunghezza 1: quanto misura (cioè quanto è lungo) un punto? ed un insieme finito di punti? qual è la probabilità, scegliendo a caso un numero reale compreso tra 0 ed 1, di scegliere il numero 0,1234567890000001 ?
spesso si lavora con aree. il punto di riferimento è un quadrato di lato 1. un sottoinsieme è una generica figura piana, compreso un insieme sconnesso di punti isolati: qual è la probabilità di scegliere a caso un punto che dista 1 da un vertice del quadrato? piuttosto ci si chiede qual è la probabilità di scegliere un punto che dista dal vertice non più di 1...
[mod="Martino"]Nel frattempo sposto in analisi.[/mod]
@antennaboy: Con il mio intervento in effetti mi sono allontanato dall'argomento probabilità. Se ti crea problemi lascialo perdere e concentrati invece su quanto ti dice adaBTTLS, non voglio confonderti le idee!
Segnalo comunque un esempio molto semplice di spazio dei campioni in cui non ad ogni sottoinsieme sia possibile associare una probabilità: si trova nella dispensa di Spizzichino segnalata da Steven http://www.mat.uniroma1.it/people/nappo ... o-2005.pdf pag.127 (numerazione del pdf) esempio 13.3. Nota: questo spazio dei campioni è finito. Tre pagine più avanti, nell'Osservazione 1, si accenna allo stesso problema con spazi di campioni infiniti.
Segnalo comunque un esempio molto semplice di spazio dei campioni in cui non ad ogni sottoinsieme sia possibile associare una probabilità: si trova nella dispensa di Spizzichino segnalata da Steven http://www.mat.uniroma1.it/people/nappo ... o-2005.pdf pag.127 (numerazione del pdf) esempio 13.3. Nota: questo spazio dei campioni è finito. Tre pagine più avanti, nell'Osservazione 1, si accenna allo stesso problema con spazi di campioni infiniti.
ciao Dissonance,
grazie per gli interventi.
Io, in sintesi, sto cercando di capire perche' nei libri di probabilita' gli integrali sono quelli di Riemann-Stieljes....
Se la funzione F(x) e' continua ovunque (trattiamo quindi variabili aleatorie continue), allora essa ammette una derivata: F(x)=f(x) dx dove f(x) e' la pdf che si usa spesso.
So che l' operazione di limite dentro un integrale non si puo' sempre estrarre (calcolare prima l'integrale e poi fare il limite).....ma come si riallaccia sto discorso a quello che succede in probabilita' e nei processi stocastici?
Nei processi stocastici si ha a che far con realizzazioni che vanno da -infinito a +infinito e non sono probabilmente assolutamente integrabili.....
C'e differenza tra l'integrale di Riemann-Stieljes e quello di Lebesgue o sono fondamentalmente la stessa cosa?
grazie.
antennaboy
grazie per gli interventi.
Io, in sintesi, sto cercando di capire perche' nei libri di probabilita' gli integrali sono quelli di Riemann-Stieljes....
Se la funzione F(x) e' continua ovunque (trattiamo quindi variabili aleatorie continue), allora essa ammette una derivata: F(x)=f(x) dx dove f(x) e' la pdf che si usa spesso.
So che l' operazione di limite dentro un integrale non si puo' sempre estrarre (calcolare prima l'integrale e poi fare il limite).....ma come si riallaccia sto discorso a quello che succede in probabilita' e nei processi stocastici?
Nei processi stocastici si ha a che far con realizzazioni che vanno da -infinito a +infinito e non sono probabilmente assolutamente integrabili.....
C'e differenza tra l'integrale di Riemann-Stieljes e quello di Lebesgue o sono fondamentalmente la stessa cosa?
grazie.
antennaboy
"antennaboy":Questi due integrali sono due cose diverse che però coincidono in parecchi casi concreti. Purtroppo però non saprei proprio aiutarti sul loro uso in probabilità, mi spiace.
Io, in sintesi, sto cercando di capire perche' nei libri di probabilita' gli integrali sono quelli di Riemann-Stieljes....
[...]
C'e differenza tra l'integrale di Riemann-Stieljes e quello di Lebesgue o sono fondamentalmente la stessa cosa?
Penso che il "vantaggio" sia il seguente.
Data una variabile aleatoria reale $X$, la sua funzione di distribuzione $F_X(x) = P(X \le x)$ è monotona crescente.
Di conseguenza, puoi calcolare il valore atteso di $h(X)$ come
$E[h(X)] = \int_{RR} h(x) dF_X(x)$,
dove l'integrale a secondo membro è un integrale di Riemann-Stieltjes.
Naturalmente questo equivale a integrale rispetto alla misura $d\mu = d F_X$, ma richiede che uno conosca la teoria dell'integrazione rispetto a una qualsiasi misura.
L'integrale di R-S non richiede invece conoscenze di questo tipo per essere definito.
Data una variabile aleatoria reale $X$, la sua funzione di distribuzione $F_X(x) = P(X \le x)$ è monotona crescente.
Di conseguenza, puoi calcolare il valore atteso di $h(X)$ come
$E[h(X)] = \int_{RR} h(x) dF_X(x)$,
dove l'integrale a secondo membro è un integrale di Riemann-Stieltjes.
Naturalmente questo equivale a integrale rispetto alla misura $d\mu = d F_X$, ma richiede che uno conosca la teoria dell'integrazione rispetto a una qualsiasi misura.
L'integrale di R-S non richiede invece conoscenze di questo tipo per essere definito.
Salve Rigel,
grazie per l'aiuto.
L'integrale di Lebesgue permette a funzioni misurabili di essere integrate anche se sono funzioni violentemente discontinue....
L' integrale che tu hai scritto e' quell di R-S.....c'e' pero' quel dF che rappresenta una misura....tu pero' dici che non richiede la conoscenza della teoria della misura. Questo non mi e' chiaro......
grazie per l'aiuto.
L'integrale di Lebesgue permette a funzioni misurabili di essere integrate anche se sono funzioni violentemente discontinue....
L' integrale che tu hai scritto e' quell di R-S.....c'e' pero' quel dF che rappresenta una misura....tu pero' dici che non richiede la conoscenza della teoria della misura. Questo non mi e' chiaro......
L'integrale di R-S di una funzione di variabile reale può essere definito in maniera elementare (come avviene su diversi testi d Analisi I, vedi ad esempio il Rudin, "Principles..."). Non richiede quindi che uno sappia cos'è una misura.
A posteriori, se sai cos'è una misura, ti accorgi che quel $dF$ che compare nell'integrale di R-S è esattamente la derivata (nel senso delle misure) della funzione monotona $F$.
A posteriori, se sai cos'è una misura, ti accorgi che quel $dF$ che compare nell'integrale di R-S è esattamente la derivata (nel senso delle misure) della funzione monotona $F$.
Dunque, per l'assioma della scelta si dimostra che esistono (in domini reali cioè continui) sottoinsiemi non misurabili secondo Lebesgue (un sottoinsieme dicesi misurabile se soddisfa un certo requisito, di Charatheodory, spero scritto bene).
CI si domanderà: MA allora è possibile avere una misura più "completa" per cui tutti gli insiemi siano misurabili?
Intanto una tale misura dovrà estendere l'usuale concetto di area o di volume ed essere invariante per traslazione, e sia addittiva sulle partizioni finite.
Il paradosso di Borsuck-Ulam impedisce tale evenienza:
SI può decomporre (in base all'assioma della scelta) un sfera di raggio 2 in parti finite, e ricomporle in modo disgiunto ottenendo una sfera di raggio 1 (quindi di volume nettamente diverso).
Tale paradosso non è una contraddizione SSE gli elementi della partizione non sono tutti misurabili rispetto ad una qualunque misura (con gli ovvi requisiti di sopra).
Ammettendo che esista una misura che misuri ogni sottoinsieme si avrebbe una contraddizione.
CI si domanderà: MA allora è possibile avere una misura più "completa" per cui tutti gli insiemi siano misurabili?
Intanto una tale misura dovrà estendere l'usuale concetto di area o di volume ed essere invariante per traslazione, e sia addittiva sulle partizioni finite.
Il paradosso di Borsuck-Ulam impedisce tale evenienza:
SI può decomporre (in base all'assioma della scelta) un sfera di raggio 2 in parti finite, e ricomporle in modo disgiunto ottenendo una sfera di raggio 1 (quindi di volume nettamente diverso).
Tale paradosso non è una contraddizione SSE gli elementi della partizione non sono tutti misurabili rispetto ad una qualunque misura (con gli ovvi requisiti di sopra).
Ammettendo che esista una misura che misuri ogni sottoinsieme si avrebbe una contraddizione.
"antennaboy":
Salve a tutti,
ho qualche dubbio sul significato di misura e funzione misurabile....
Dato un sample space, si puo' associare ad ciascun sottoinsieme di questo sample space una probabilita' che coincide con la misura.
Se il sample space e' discreto, composto da un numero finito di punti, allora non c'e' problema. Se invece il sample space e' continuo, allora non si puo' associare a tutti i sottoinsiemi una probabilita'...
Perche'?
antennaboy
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo