Misura di un grafico di funzione in R2
Salve, sono nuovo qui, ma spesso leggo topic che trovo molte volte utili per i miei studi universitari (fisica, 2°anno).
Volevo sentire il vostro parere su come svolgere praticamente questo esercizio (dal punto di vista concettuale mi sembra piuttosto immediato). L'esercizio è questo:
"Sia dato G:={(x,y)∈R2 |y=x^2,0≤x≤1}. Si provi che G⊂R2 ha misura esterna nulla."
Si tratta in pratica di dimostrare che il grafico di una funzione ha misura di Lebesgue nulla in R2. Ora mi chiedevo l'approccio quale potesse essere. Posso calcolare la misura del rettangolo [0,1]X[0,1] che ovviamente è uguale a uno, poi spezzarlo in due insieme A1 e A2 (con frontiera data da due lati del quadrato e il tratto di parabola) sopra e sotto la parabola e calcolare separatamente le aree di questi due insieme, dimostrando che la somma di queste due aree è nuovamente uno?
In pratica quello che voglio fare è dimostrare che l'integrale della funzione caratteristica del quadrato e dell'insieme quadrato meno grafico funzione coincidono e hanno valore 1. e questo è vero solo se il grafico ha misura nulla. Il mio problema è formalizzare tutto ciò. Inoltre volevo chiedere perché si fa riferimento alla misura esterna (non è uguale a quella interna in questo caso?).
Grazie, se ho spiegato male chiedetemi.
Volevo sentire il vostro parere su come svolgere praticamente questo esercizio (dal punto di vista concettuale mi sembra piuttosto immediato). L'esercizio è questo:
"Sia dato G:={(x,y)∈R2 |y=x^2,0≤x≤1}. Si provi che G⊂R2 ha misura esterna nulla."
Si tratta in pratica di dimostrare che il grafico di una funzione ha misura di Lebesgue nulla in R2. Ora mi chiedevo l'approccio quale potesse essere. Posso calcolare la misura del rettangolo [0,1]X[0,1] che ovviamente è uguale a uno, poi spezzarlo in due insieme A1 e A2 (con frontiera data da due lati del quadrato e il tratto di parabola) sopra e sotto la parabola e calcolare separatamente le aree di questi due insieme, dimostrando che la somma di queste due aree è nuovamente uno?
In pratica quello che voglio fare è dimostrare che l'integrale della funzione caratteristica del quadrato e dell'insieme quadrato meno grafico funzione coincidono e hanno valore 1. e questo è vero solo se il grafico ha misura nulla. Il mio problema è formalizzare tutto ciò. Inoltre volevo chiedere perché si fa riferimento alla misura esterna (non è uguale a quella interna in questo caso?).
Grazie, se ho spiegato male chiedetemi.
Risposte
No, è meglio dimostrare che puoi includere \(G\) in famiglie di rettangoli aventi area complessiva piccola a volontà. Che poi è la definizione di insieme con misura esterna nulla. Il testo parla di misura esterna proprio per rifilarti implicitamente questo suggerimento. Quindi concretamente devi fissare \(\varepsilon >0 \) e fabbricare un plurirettangolo (=unione finita di rettangoli) contenente \(G\) e di area complessiva più piccola di \(\varepsilon\).
Avevo pensato a questo approccio, ma speravo di trovarne uno più pratico e meno formale. Grazie, provo subito a veder se mi ci trovo.
texOk, graficamente la cosa è ovvia.dal punto di vista pratico ho pensato di dividere in intervalli di ampiezza dx=[tex]\delta[/tex]
lungo la x e intervalli di ampiezza dy<[tex]\varepsilon=2\delta[/tex] (ho usato in ciò che dy=2xdx[tex]\leq2\delta[/tex] per x in [0,1])
a questo punto prendo \delta sempre più piccolo e sommo l'area di questo plurirettangolo che contiene G.
Ottengo, utilizzando l'addittività numerabile sugli insieme misurabili (nel mio caso i rettangolini di area [tex]\delta\varepsilon[/tex]):
m(G)= [tex]\Sigma 2\delta\[/tex]^2 non riesco a mettere gli apici, comunque la somma di questa serie è zero se non sbaglio. Va bene così?
lungo la x e intervalli di ampiezza dy<[tex]\varepsilon=2\delta[/tex] (ho usato in ciò che dy=2xdx[tex]\leq2\delta[/tex] per x in [0,1])
a questo punto prendo \delta sempre più piccolo e sommo l'area di questo plurirettangolo che contiene G.
Ottengo, utilizzando l'addittività numerabile sugli insieme misurabili (nel mio caso i rettangolini di area [tex]\delta\varepsilon[/tex]):
m(G)= [tex]\Sigma 2\delta\[/tex]^2 non riesco a mettere gli apici, comunque la somma di questa serie è zero se non sbaglio. Va bene così?
Come fa la somma di una serie a termini positivi ad essere zero? E poi non puoi usare gli infinitesimi a questa maniera, sai che non fanno parte della formulazione rigorosa della matematica. Devi essere più preciso.
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