Misura di non compattezza
Salve,
Ho un dubbio:so quale è la definizione di compattezza e di misura di non compattezza. In altre parole qual è la differenza sostanziale tra le due? La seconda è una generalizzazione della prima?
Grazie
Ho un dubbio:so quale è la definizione di compattezza e di misura di non compattezza. In altre parole qual è la differenza sostanziale tra le due? La seconda è una generalizzazione della prima?
Grazie
Risposte
Più contesto, please.
Uno spazio è compatto se ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.
La misura di non compattezza di un sottoinsieme A di uno spazio metrico completo è definita come
$ mu (A)= Inf {epsilon >0 :A=uu A_i $ con $ diam(A_i)
Nella misura di non compattezza l'unione è finita.
Cosa posso dire della relazione tra compattezza e non compattezza. Le due non c'entrano niente l'una con l' altra?
La misura di non compattezza di un sottoinsieme A di uno spazio metrico completo è definita come
$ mu (A)= Inf {epsilon >0 :A=uu A_i $ con $ diam(A_i)
Nella misura di non compattezza l'unione è finita.
Cosa posso dire della relazione tra compattezza e non compattezza. Le due non c'entrano niente l'una con l' altra?
Mah..se può esserti utile mi sembra,ad istinto,
che alla luce di questa definizione da te usata un sottoinsieme compatto d'uno spazio metrico completo,sia esso $A$,
ha certamente nulla la misura di non compattezza $μ(A)$:
è il viceversa che non dovrebbe essere vero
(ad occhio e croce,con la metrica usuale del valore assoluto,$A=(0,1)$ è t.c. $μ(A)=0$,pur non essendo compatto..),
ma aspetta pareri più auterevoli e meno euristici del mio.
Grazie dello spunto di riflessione,comunque:
saluti dal web.
che alla luce di questa definizione da te usata un sottoinsieme compatto d'uno spazio metrico completo,sia esso $A$,
ha certamente nulla la misura di non compattezza $μ(A)$:
è il viceversa che non dovrebbe essere vero
(ad occhio e croce,con la metrica usuale del valore assoluto,$A=(0,1)$ è t.c. $μ(A)=0$,pur non essendo compatto..),
ma aspetta pareri più auterevoli e meno euristici del mio.
Grazie dello spunto di riflessione,comunque:
saluti dal web.
Le misure di non compattezza (quella che hai definito tu è quella di Kuratowski) in genere si usano negli spazi di Banach infinito-dimensionali.
Il principale legame con la compattezza è il seguente: se \(A\) è un sottoinsieme di uno spazio di Banach, allora \(\mu(A) = 0\) se e solo se \(A\) è relativamente compatto.
Trovi maggiori dettagli nel cap. 2 del libro di Deimling, Nonlinear Functional Analysis.
Il principale legame con la compattezza è il seguente: se \(A\) è un sottoinsieme di uno spazio di Banach, allora \(\mu(A) = 0\) se e solo se \(A\) è relativamente compatto.
Trovi maggiori dettagli nel cap. 2 del libro di Deimling, Nonlinear Functional Analysis.
Ma in altre parole cosa ci dice la misura di non compattezza?
Detto sbrigativamente, ti dice quanto "lontano" è un insieme dall'essere compatto.
Un tipico utilizzo è il seguente. Se riesci a costruire una successione di convessi chiusi e inscatolati \(C_1 \supset C_2\supset\ldots\) tali che \(\mu(C_n) \to 0\), allora \(C = \bigcap_n C_n\) è compatto.
Un tipico utilizzo è il seguente. Se riesci a costruire una successione di convessi chiusi e inscatolati \(C_1 \supset C_2\supset\ldots\) tali che \(\mu(C_n) \to 0\), allora \(C = \bigcap_n C_n\) è compatto.
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