Misura di lebesgue, insiemi non misurabili
Ragazzi ma qualkuno mi può fare un'esempio scemo scemo scemooooooo di un'insieme non misurabile alla lebesgue?
Risposte
Un esempio "scemo scemo" non credo esista. Tieni conto che, se non fosse per l'assioma della scelta, tutte le parti di $RR$ sarebbero misurabili.
L'esempio tipico di insieme non misurabile è quello di Vitali: data la relazione di equivalenza in $RR$
$x sim y$ $iff$ $x-y \in QQ$
sia $V$ un sistema completo di rappresentanti per $sim$. Questo $V$ risulterà essere non misurabile.
L'esempio tipico di insieme non misurabile è quello di Vitali: data la relazione di equivalenza in $RR$
$x sim y$ $iff$ $x-y \in QQ$
sia $V$ un sistema completo di rappresentanti per $sim$. Questo $V$ risulterà essere non misurabile.
Allora forse è mejo andarci così...ho bisogno di riprendere alcuni concetti di matematica che non tocco da quasi 2 anni, anzitutto il concetto di Famiglia:
Per definizione una Famiglia è una collezione di elementi, ovvero un'insieme al quale ad ogni elemento possiamo associare un indice giusto in modo da individuarlo univocamente, ora....
Ora per dire, io voglio fare un'esempio, sappiamo che in $RR$ non possiamo individuare alcuna famiglia ordinata sui singoli elementi di questo insieme, in quanto non possiamo associare agli elementi di $RR$ alcuna relazione d'ordine...ma supponiamo di suddividere $RR$ nell'unione dei seguenti sottoinsiemi
$RR = uuu_{n in NN} A_i$ dove $A_n = ] -10(n+1),-10n] uu [10n, 10(n+1)[$. A questi sottoinsiemi di $RR$ posso certamente associare un indice in modo univoco gli elementi della collezione in questione allora io, da ignorante, posso dedurre che i sottoinsiemi da me esposti costituiscono una famiglia per $RR$?
Suppongo che anche agli elementi dell'insieme $NN$ e $QQ$ posso associare una famiglia (vedasi che sono ordinabili)
Per definizione una Famiglia è una collezione di elementi, ovvero un'insieme al quale ad ogni elemento possiamo associare un indice giusto in modo da individuarlo univocamente, ora....
Ora per dire, io voglio fare un'esempio, sappiamo che in $RR$ non possiamo individuare alcuna famiglia ordinata sui singoli elementi di questo insieme, in quanto non possiamo associare agli elementi di $RR$ alcuna relazione d'ordine...ma supponiamo di suddividere $RR$ nell'unione dei seguenti sottoinsiemi
$RR = uuu_{n in NN} A_i$ dove $A_n = ] -10(n+1),-10n] uu [10n, 10(n+1)[$. A questi sottoinsiemi di $RR$ posso certamente associare un indice in modo univoco gli elementi della collezione in questione allora io, da ignorante, posso dedurre che i sottoinsiemi da me esposti costituiscono una famiglia per $RR$?
Suppongo che anche agli elementi dell'insieme $NN$ e $QQ$ posso associare una famiglia (vedasi che sono ordinabili)
Piccolo OT: non è perfettamente chiaro se l'esistenza di un insieme non misurabile sia così legato all'assioma della scalta. Di recente ho discusso di questa cosa con un ricercatore di Geometria e abbiamo appurato che esiste una costruzione di un insieme non misurabile in R che fa uso solo del Teorema di Hahn-Banach, il quale a sua volta è stato ampiamente studiato anche senza l'uso dell'assioma della scelta. La cosa però non mi è del tutto chiara.
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