Misura di lebesgue - insieme nullo

[dustofstar]

Ciao!!
Ho un problema con un esercizio sulla misura di lebesgue.
Devo provare che in $R^n$ ogni iperpiano $x_k=c$ e' un un insieme nullo.
Ora...
se seguo il ragionamento che Per la misura di Lebesgue su $R^n$, tutti gli insiemi di un punto sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli, allora, essendo ogn iperpiano un insieme numerabile, posso affermare cge e' un insieme nullo.
Ma volendo applicare la definizione che mi dice che un insieme e' nullo se Dato un qualsiasi numero positivo $\epsilon$, esiste una successione ${I_n}$ di intervalli tali che $N$ è contenuto nell'unione degli $I_n$ e la lunghezza totale degli $I_n$ è minore di $\epsilon$, come posso dimostrare che ogni iperpiano e' nullo...
Uff.. non riesco proprio a capire..
Forse non ho proprio ben capito che significa insieme nullo.
Mi aiutate.. vi pregooo??

[Principe2]

Un iperpiano è numerabile??

Semmai è unione numerabile di insiemi nulli. Per visualizzare, pensa a $R^2$ a facciamo che il nostro iperpiano è l'asse x. Scrivi l'asse x come unione degli intervalli di tipo $[n,n+1]$ con $n\inZZ$. Ognuno di questi intervalli ha misura nulla in $RR^2$ e la loro unione è l'asse x. Ovvia generalizzazione risolve l'esercizio.

[gugo82]

Infatti, come notava ubermensch (che saluto caldamente... Era quasi un anno che non postavi! ) un iperpiano non è un insieme numerabile, quindi non puoi pensare di usare l'additività numerabile della misura di Labesgue come indicato nel primo post.

Penso che la strada più semplice per risolvere la questione sia innanzitutto mostrare che l'iperpiano $Pi$ d'equazione $x_n=0$ abbia misura nulla, poi ricordare che ogni iperpiano d'equazione $x_k=c$ si ottiene da $Pi$ per rototraslazione e che la misura di Lebesgue è invariante per le rototraslazioni (nel senso che se $T:RR^n\to RR^n$ è una rototraslazione allora, per ogni misurabile $E\subseteq RR^n$, è $m(T(E))=m(E)$).

Per mostrare che $Pi$ ha misura nulla ti conviene racchiuderlo nell'unione di una successione d'intervalli come indicavi nella seconda parte del tuo post.
Invero, fissato $epsilon >0$, ti basta determinare per ogni $j \in NN$ un parallelepipedo $I_j$ di centro $o=(0,ldots ,0)$ tale che $m(I_j)=epsilon/2^(j+1)$ poiché in tal caso avresti:

$\sum_(j=1)^(+oo)m(I_j)=\sum_(j=1)^(+oo)epsilon/2^(j+1) =epsilon/2 (\sum_(j=0)^(+oo) (1/2)^j -1)=epsilon/2(2-1)=epsilon/2
Il problema è che gli $I_j$ dovrebbero, allo stesso tempo, "allargarsi" in diametro (così da acchiappare, man mano che $j$ cresce, sempre più punti di $Pi$) ed "assottigliarsi" in spessore (così da avere misura pari a $m(I_j)=epsilon/2^(j+i)$ che è buona per i nostri scopi).
Una costruzione del genere si può fare tranquillamente moltiplicando un insieme omotetico all'$n-1$-cubo unitario, cioè $Q_(n-1):=\{(x_1,ldots ,x_(n-1))\in RR^(n-1):\ |x_k|<=1 " per " k=1,ldots ,n-1}$, per un intervallo del tipo $[-a_j/2,a_j/2]$ con $a_j>0$, con il rapporto di omotetia $lambda_j$ ad $a_j$ scelti in modo che:

$lim_(j\to +oo) lambda_j=+oo$ e $lambda_j^(n-1)a_j=epsilon/2^(j+1)$...

Credo che questo ti basti ed avanzi come suggerimento.

Per capire meglio come risolvere il problema, ad ogni modo, sarebbe davvero una buona cosa fare un disegnino nei casi $n=2,3$...


[size=75]Edit: corretto un apostrofo di troppo...[/size]

[Principe2]

Ecco la (quasi) ovvia generalizzazione!!

Un caro saluto anche a te!!

[ViciousGoblin]

"Gugo82":Infatti, come notava ubermensch (che saluto caldamente... Era quasi un anno che non postavi! ) un iperpiano non è un insieme numerabile, quindi non puoi pensare di usare l'additività numerabile della misura di Labesgue come indicato nel primo post.

Penso che la strada più semplice per risolvere la questione sia innanzitutto mostrare che l'iperpiano $Pi$ d'equazione $x_n=0$ abbia misura nulla, poi ricordare che ogni iperpiano d'equazione $x_k=c$ si ottiene da $Pi$ per rototraslazione e che la misura di Lebesgue è invariante per le rototraslazioni (nel senso che se $T:RR^n\to RR^n$ è una rototraslazione allora, per ogni misurabile $E\subseteq RR^n$, è $m(T(E))=m(E)$).

Per mostrare che $Pi$ ha misura nulla ti conviene racchiuderlo nell'unione di una successione d'intervalli come indicavi nella seconda parte del tuo post.
Invero, fissato $epsilon >0$, ti basta determinare per ogni $j \in NN$ un parallelepipedo $I_j$ di centro $o=(0,ldots ,0)$ tale che $m(I_j)=epsilon/2^(j+1)$ poiché in tal caso avresti:

$\sum_(j=1)^(+oo)m(I_j)=\sum_(j=1)^(+oo)epsilon/2^(j+1) =epsilon/2 (\sum_(j=0)^(+oo) (1/2)^j -1)=epsilon/2(2-1)=epsilon/2
Il problema è che gli $I_j$ dovrebbero, allo stesso tempo, "allargarsi" in diametro (così da acchiappare, man mano che $j$ cresce, sempre più punti di $Pi$) ed "assottigliarsi" in spessore (così da avere misura pari a $m(I_j)=epsilon/2^(j+i)$ che è buona per i nostri scopi).
Una costruzione del genere si può fare tranquillamente moltiplicando un insieme omotetico all'$n-1$-cubo unitario, cioè $Q_(n-1):=\{(x_1,ldots ,x_(n-1))\in RR^(n-1):\ |x_k|<=1 " per " k=1,ldots ,n-1}$, per un intervallo del tipo $[-a_j/2,a_j/2]$ con $a_j>0$, con il rapporto di omotetia $lambda_j$ ad $a_j$ scelti in modo che:

$lim_(j\to +oo) lambda_j=+oo$ e $lambda_j^(n-1)a_j=epsilon/2^(j+1)$...

Credo che questo ti basti ed avanzi come suggerimento.

Per capire meglio come risolvere il problema, ad ogni modo, sarebbe davvero una buona cosa fare un disegnino nei casi $n=2,3$...


[size=75]Edit: corretto un apostrofo di troppo...[/size]

Scusa Gugo (oggi posto in maniera compulsiva), ma non era piu' semplice quello che suggeriva ubermensh ? Cioe' fissare un parallelepipedo nel piano e mostrare che ha misura zero
dato che e' contenuto in un parallelepipedo nello spazio di altezza piccola a piacere. A questo punto il piano si invade con una successione di parallelepipedi di altezza zero ( quindi di
misura nulla) ergo ha misura nulla.

Solo una precisazione (e' peraltro vero che la dim. del fatto che unione numerabile di insiemi trascurabili e' trascurabile ricalca il tuo ragionamento)

[gugo82]

Hai ragione, VG... Non so perchè, ma mi ero fissato sul fatto che uber suggerisse di scrivere $Pi$ come unione di strisce, invece che di cubetti "magri".
Forse volevo inconsciamente fare due conti.