Misura di Lebesgue
Buona sera a tutti, avrei bisogno di una mano con questo esercizio riguardante il capitolo sulla misura di Lebesgue.
Ho un po' di problemi sugli esercizi riguardanti questo argomento, poiché sono tutte dimostrazioni, ho riguardato tutta la teoria compresa di dimostrazioni e proprietà, ma non saprei proprio da dove partire per il primo punto...
So che l'intervallo $[0,1]$ che contiene tutti i numeri razionali è misurabile in quanto $mathbb(Q)$ è misurabile. Pertanto dato che $[0,1] sub mathbb(Q)$ per la proprietà che per $F, E in mathcal(L)$, se $F sub E$, allora $m(F) <= m(E)$, la misura di $[0,1]$ è pari a zero. Ma non so se possa a servire a qualcosa onestamente... Riuscite a darmi un input?
Siano $q_1, q_2, ... , q_n, ...$ tutti i numeri razionali in $[0, 1]$ elencati in sequenza (questa sequenza esiste
perché si tratta di un insieme numerabile). Sia $f_n$ la funzione caratteristica dell’insieme dei primi $n$ razionali
dell’elenco ${q_1, q_2, . . . , q_n}$, cioè
$f_n= {(1\ \ se\ EEj<= n:x=q_j),(0\ \ al\trimenti):}$
Sia $1_mathbb(Q)$ la funzione caratteristica di $mathbb(Q)$. Mostrare che per ogni $x in [0, 1]$ si ha $lim_(x->oo) f_n(x) = 1_mathbb(Q)(x)$. Le
$f_n$ sono Riemann-integrabili? La $1_mathbb(Q)$? Si ha che $f_n $ converge uniformemente a $ 1_mathbb(Q)$? La convergenza delle $f_n$ è monotona?
Ho un po' di problemi sugli esercizi riguardanti questo argomento, poiché sono tutte dimostrazioni, ho riguardato tutta la teoria compresa di dimostrazioni e proprietà, ma non saprei proprio da dove partire per il primo punto...
So che l'intervallo $[0,1]$ che contiene tutti i numeri razionali è misurabile in quanto $mathbb(Q)$ è misurabile. Pertanto dato che $[0,1] sub mathbb(Q)$ per la proprietà che per $F, E in mathcal(L)$, se $F sub E$, allora $m(F) <= m(E)$, la misura di $[0,1]$ è pari a zero. Ma non so se possa a servire a qualcosa onestamente... Riuscite a darmi un input?
Risposte
Ciao, che per ogni \( x \in [0,1] \) vale
\[ \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 1_{\mathbb{Q}}(x) \]
sei riuscito a dimostrarlo?
Non chiamarlo \( [0,1] \), confondi il lettore, ho creduto per diversi minuti che sostenessi che la misura dell'intervallo \( [0,1] \) fosse $0$. Chiamiamolo con il suo nome \( [0,1] \cap \mathbb{Q} \) o \( E \) se proprio non vuoi usare più simboli.
Perché $E$ è misurabile? (ci sono almeno due modi per rispondere).
Poi si è vero, la sua misura è $0$. Questo non ci serve ma non ci fa male saperlo. Partiamo dalla prima cosa che ti ho chiesto e poi vediamo il resto.
\[ \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 1_{\mathbb{Q}}(x) \]
sei riuscito a dimostrarlo?
"Frostman":
[...]
So che l'intervallo $ [0,1] $ che contiene tutti i numeri razionali è misurabile in quanto $ mathbb(Q) $ è misurabile. [...]
Non chiamarlo \( [0,1] \), confondi il lettore, ho creduto per diversi minuti che sostenessi che la misura dell'intervallo \( [0,1] \) fosse $0$. Chiamiamolo con il suo nome \( [0,1] \cap \mathbb{Q} \) o \( E \) se proprio non vuoi usare più simboli.
Perché $E$ è misurabile? (ci sono almeno due modi per rispondere).
Poi si è vero, la sua misura è $0$. Questo non ci serve ma non ci fa male saperlo. Partiamo dalla prima cosa che ti ho chiesto e poi vediamo il resto.
No, nemmeno quello sono riuscito a dimostrare...
Per quanto riguarda al fatto che $E$ sia misurabile posso osservare che intanto è compatto su $mathbb(Q)$ per cui la misura su questo insieme coincide con
$m(E) := i\nf\ {m(P):\ P supe E, P\ pluriret\ta\ngolo } $
È sufficiente?
Per quanto riguarda al fatto che $E$ sia misurabile posso osservare che intanto è compatto su $mathbb(Q)$ per cui la misura su questo insieme coincide con
$m(E) := i\nf\ {m(P):\ P supe E, P\ pluriret\ta\ngolo } $
È sufficiente?
"Frostman":
No, nemmeno quello sono riuscito a dimostrare...
Ok... osserva che stai studiando la convergenza puntuale di una successione di funzioni definita per casi, la quale dovrebbe (perché lo devi dimostrare) convergere ad una funzione definita anch’essa per casi, i.e.:
\[
\mathbf{1}_\mathbb{Q} (x) := \begin{cases}
1 & \text{, se } x \in \mathbb{Q} \cap [0,1] \\
0 & \text{, altrimenti}
\end{cases}\; .
\]
Quindi sai da dove comincerei? Beh, comincerei a distinguere un po’ di casi.
Ad esempio, $x in QQ cap [0,1]$ ed $x in [0,1] setminus QQ$ mi sembrano buoni...
"Frostman":
Per quanto riguarda al fatto che $E$ sia misurabile posso osservare che intanto è compatto su $mathbb(Q)$ per cui la misura su questo insieme coincide con
$m(E) := i\nf\ {m(P):\ P supe E, P\ pluriret\ta\ngolo } $
È sufficiente?
Non ti serve quasi a nulla e, peggio, non ha alcun senso.
Che cosa sai della misura di Lebesgue?
Quali proprietà ha?
Quali proprietà la distinguono da quella elementare di Peano-Jordan?
P.S.: Che corso hai seguito? Per quale c.d.l.?
Che testo di riferimento stai usando per studiare?
Allora, se consideriamo l'insieme $[0,1] nn mathbb(Q)$ possiamo dire che $f_n$ converge puntualmente a $1$, poiché se prendo un $x$ su quell'insieme necessariamente è un razionale. Allora stesso modo la funzione $mathbf{1}_mathbb(Q) $ vale $1$ poiché per stessa definizione di $x$, esso appartiene a $[0,1] nn mathbb(Q)$.
Se consideriamo l'insieme $[0,1]\\mathbb(Q)$ possiamo osservare che presa una $x$ qualsiasi da questo insieme, non sarà un razionale, pertanto la funzione caratteristica varrà $0$. La funzione $mathbf{1}_mathbb(Q) $ vale $0$ poiché per stessa definizione di $x$, esso appartiene a $[0,1]\\ mathbb(Q)$
Mettendo insieme i due risultati, considerando l'insieme $[0,1]$, abbiamo che $lim_(n->oo)f_n(x)=mathbf{1}_mathbb(Q)(x)$ per ogni $x in [0,1]$.
Della misura di Lebesgue abbiamo visto la sua definizione con l'utilizzo dei plurirettangoli, abbiamo osservato come possono essere definite la misura di insiemi aperti e di insiemi compatti (definizione che ti ho dato nel post precedente).
Le proprietà che abbiamo visto sono le seguenti:
Se consideriamo l'insieme $[0,1]\\mathbb(Q)$ possiamo osservare che presa una $x$ qualsiasi da questo insieme, non sarà un razionale, pertanto la funzione caratteristica varrà $0$. La funzione $mathbf{1}_mathbb(Q) $ vale $0$ poiché per stessa definizione di $x$, esso appartiene a $[0,1]\\ mathbb(Q)$
Mettendo insieme i due risultati, considerando l'insieme $[0,1]$, abbiamo che $lim_(n->oo)f_n(x)=mathbf{1}_mathbb(Q)(x)$ per ogni $x in [0,1]$.
Della misura di Lebesgue abbiamo visto la sua definizione con l'utilizzo dei plurirettangoli, abbiamo osservato come possono essere definite la misura di insiemi aperti e di insiemi compatti (definizione che ti ho dato nel post precedente).
Le proprietà che abbiamo visto sono le seguenti:
[*:1zr7swzl]$m=(O/ )=0$[/*:m:1zr7swzl]
[*:1zr7swzl]$m(mathbb(R)^n)=+oo$[/*:m:1zr7swzl]
[*:1zr7swzl]$E_n in \mathcal(L), m(uu_n E_n) <= sum_(n) m(E_n)$[/*:m:1zr7swzl]
[*:1zr7swzl]$E_1, E_2 in \mathcal(L)\ E_1sube E_2 => m(E_1) <= m(E_2)$[/*:m:1zr7swzl]
[*:1zr7swzl]$E_n in \mathcal(L) (n in mathbb(N))$ crescente $(E_1 sube E_2 sube E_3 sube \ldots) => m(uu_n E_n)=lim_(n->oo)m(E_n)$[/*:m:1zr7swzl]
[*:1zr7swzl]$E_n in \mathcal(L) (n in mathbb(N))$ decrescente $(E_1 supe E_2 supe E_3 supe \ldots) => m(nn_n E_n)=lim_(n->oo)m(E_n)$ se $m(E_1) < +oo$[/*:m:1zr7swzl]
[*:1zr7swzl]$E_n in mathcal(L) (n in mathbb(N)$ a due a due disgiunti $=>m(uu_n E_n)=sum_(n in mathbb(N)) m(E_n)$[/*:m:1zr7swzl]
[*:1zr7swzl]$E in mathcal(L), bar(x) in mathbb(R)^n$, allora $bar(x)+E={y in mathbb(R)^n: EE x in E: y= bar(x)+x} in mathcal(L)$ e $ m(bar(x)+E)=m(E)$[/*:m:1zr7swzl]
[*:1zr7swzl]$E in mathcal(L), \lambda in mathbb(R)^+$, allora $\lambdaE={y in mathbb(R)^n: y=\lambdax EEx in E} in mathcal(L)$ e $ m(\lambdaE)=\lambda^nm(E)$[/*:m:1zr7swzl][/list:u:1zr7swzl]
La misura di Peano-Jordan non l'abbiamo trattata onestamente, o meglio non sono stati fatti quei nomi.
Sto seguendo il corso di Analisi II per la laurea triennale in Fisica. Sono stati consigliati dei libri come il Giusti, ma per passare l'esame è stato detto che erano sufficienti gli appunti spiegati a lezione.
Si ma non si capisce bene se hai capito la storia della convergenza. Ora, facciamo così, prendiamo \( x \in [0,1] \cap \mathbb{Q} \). Quanto vale \( 1_{\mathbb{Q}}(x) \) ? Quanto vale la successione di funzioni calcolate in \(x \) ? Cioè quanto vale \( f_n(x) \)? Prima facciamo questo. Poi il resto.
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