Misura di Haar
qualcuno sa cosa è la misura di Haar (left invariant) su un gruppo topologico localmente compatto?
Risposte
Cito il Rudin di Analisi Funzionale:
Teorema
Su ogni gruppo compatto $G$ esiste un'unica misura di probabilità (cioè con $m(G)=1$) di Borel (cioè gli aperti e i chiusi sono misurabili) regolare $m$ che è invariante a sinistra, nel senso che
$\int_G f dm=\int_G (L_s f) dm$ ($s\in G$, $f\in C(G)$).
Essa è anche invariante a destra:
$\int_G f dm=\int_G (R_s f) dm$ ($s\in G$, $f\in C(G)$)
e soddisfa la relazione
$\int_G f(x) dm(x)=\int_G f(x^{-1}) dm(x)$ ($f\in C(G)$).
Questa $m$ è chiamata la misura di Haar di $G$.
($L_s$ e $R_s$ denotano gli operatori di moltiplicazione sinistra e destra per $s$)
Teorema
Su ogni gruppo compatto $G$ esiste un'unica misura di probabilità (cioè con $m(G)=1$) di Borel (cioè gli aperti e i chiusi sono misurabili) regolare $m$ che è invariante a sinistra, nel senso che
$\int_G f dm=\int_G (L_s f) dm$ ($s\in G$, $f\in C(G)$).
Essa è anche invariante a destra:
$\int_G f dm=\int_G (R_s f) dm$ ($s\in G$, $f\in C(G)$)
e soddisfa la relazione
$\int_G f(x) dm(x)=\int_G f(x^{-1}) dm(x)$ ($f\in C(G)$).
Questa $m$ è chiamata la misura di Haar di $G$.
($L_s$ e $R_s$ denotano gli operatori di moltiplicazione sinistra e destra per $s$)
grazie!!
già che ci sei, sai cosa è una funzione modulare?
per capirsi cito il testo dell'esercizio che ho trovato (non è stato assegnato!!)
Sia $G$ localmente compatto con misura di Haar $ds$ invariante a sinistra e funzione modulare $\delta_G$.
Sia $L^1(G)$ lo spazio di Banach delle funzioni integrabili su $G$ rispetto alla misura di Haar normato con $||x||=\int_G|x(s)|ds$. Definiamo la moltiplicazione $(xy)(t)=\int_Gx(s)y(s^{-1}t)ds, x,y\inL^1(G)$ e l'involuzione $x^*(t)=\delta_G(t)^{-1}\bar{x(t^{-1})}$.
Mostrare che $L^1(G)$ è una algebra involutiva.
Nota: il puntino accanto alla $x$ nella definizione della involuzione sarebbe una "star" messa come apice, cioè un operatore.
già che ci sei, sai cosa è una funzione modulare?
per capirsi cito il testo dell'esercizio che ho trovato (non è stato assegnato!!)
Sia $G$ localmente compatto con misura di Haar $ds$ invariante a sinistra e funzione modulare $\delta_G$.
Sia $L^1(G)$ lo spazio di Banach delle funzioni integrabili su $G$ rispetto alla misura di Haar normato con $||x||=\int_G|x(s)|ds$. Definiamo la moltiplicazione $(xy)(t)=\int_Gx(s)y(s^{-1}t)ds, x,y\inL^1(G)$ e l'involuzione $x^*(t)=\delta_G(t)^{-1}\bar{x(t^{-1})}$.
Mostrare che $L^1(G)$ è una algebra involutiva.
Nota: il puntino accanto alla $x$ nella definizione della involuzione sarebbe una "star" messa come apice, cioè un operatore.
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