Misura di funzioni semplici
1.25 Proposition Let $s$ and $t$ be nonnegative measurable simple functions on $X$. For $E\in\mathcal{M}$, define
\[\varphi(E)=\int_{E}s d \mu\]
Then $\varphi$ is a measure on $\mathcal{M}$. Also
\[\int_{X}(s+t)d\mu=\int_{X}sd\mu+\int_{X}td\mu\]
Chiedo lumi sul secondo punto. Le funzioni sono: $s=\Sigma_{i}^{n}\alpha_{i}\chi (A_i)$ e $t=\Sigma_{j}^{m}\beta_{j}\chi (B_j)$ e gli insiemi su cui sono definite appartengono a $\mathcal{M}$. Vale che
\[\int_{A_{i}\cap B_{j}}(s+t)d\mu=\int_{A_{i}\cap B_{j}}sd\mu+\int_{{A_{i}\cap B_{j}}}td\mu\]
Ovvero su insiemi disgiunti, quali sono $E_{ij}=A_{i}\cap B_{j}$. In particolare $X$ è formato dall'unione di insiemi di questo tipo ed allora vale anche su $X$.
Ecco. Quest'ultimo punto. Significa che basta trovare due insiemi $\in \mathcal{M}$ e disgiunti che uniti danno $X$ per verificare questa cosa? Vanno bene $\emptyset$ e $X$ dato che $\emptyset \cap X=\emptyset$ ed entrambi $\in \mathcal{M}$?
\[\varphi(E)=\int_{E}s d \mu\]
Then $\varphi$ is a measure on $\mathcal{M}$. Also
\[\int_{X}(s+t)d\mu=\int_{X}sd\mu+\int_{X}td\mu\]
Chiedo lumi sul secondo punto. Le funzioni sono: $s=\Sigma_{i}^{n}\alpha_{i}\chi (A_i)$ e $t=\Sigma_{j}^{m}\beta_{j}\chi (B_j)$ e gli insiemi su cui sono definite appartengono a $\mathcal{M}$. Vale che
\[\int_{A_{i}\cap B_{j}}(s+t)d\mu=\int_{A_{i}\cap B_{j}}sd\mu+\int_{{A_{i}\cap B_{j}}}td\mu\]
Ovvero su insiemi disgiunti, quali sono $E_{ij}=A_{i}\cap B_{j}$. In particolare $X$ è formato dall'unione di insiemi di questo tipo ed allora vale anche su $X$.
Ecco. Quest'ultimo punto. Significa che basta trovare due insiemi $\in \mathcal{M}$ e disgiunti che uniti danno $X$ per verificare questa cosa? Vanno bene $\emptyset$ e $X$ dato che $\emptyset \cap X=\emptyset$ ed entrambi $\in \mathcal{M}$?
Risposte
Prendi due funzioni semplici \(s,\ t\) e misurabili: per noti fatti puoi determinare due uniche partizioni \(\{A_1,\ldots ,A_n\},\ \{B_1,\ldots ,B_m\}\) di \(X\) fatte da insiemi misurabili tali che:
\[
{s}={\Sigma_{{{i}}}^{{{n}}}}\alpha_{{{i}}}\chi{\left({A}_{{i}}\right)} \qquad \text{e}\qquad {t}={\Sigma_{{{j}}}^{{{m}}}}\beta_{{{j}}}\chi{\left({B}_{{j}}\right)}\; .
\]
Ora è un banale giochetto algebrico dimostrare che:
\[
s+t =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m (\alpha_i+\beta_j)\ \chi (A_i\cap B_j)
\]
sicché \(s+t\) è una funzione semplice misurabile corrispondente alla partizione:
\[
\begin{split}
\{A_i\cap B_j\}_{i=1,\ldots ,n,\ j=1,\ldots ,m} = \{ &A_1\cap B_1,\ldots ,A_1\cap B_m, \\
&A_2\cap B_1,\ldots ,A_2\cap B_m,\ldots , \\
&A_n\cap B_1,\ldots ,A_n\cap B_m\}\; .
\end{split}
\]
Ma allora per definizione:
\[
\begin{split}
\int_X (s+t)\ \text{d}\mu &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (\alpha_i +\beta_j)\mu (A_i\cap B_j)\\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \alpha_i\mu (A_i\cap B_j) +\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \beta_j\mu (A_i\cap B_j)\\
&= \sum_{i=1}^n \alpha_i \left( \sum_{j=1}^m \mu (A_i\cap B_j)\right) +\sum_{j=1}^m \beta_j \left( \sum_{i=1}^n \mu (A_i\cap B_j) \right)\\
&= \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(A_i) + \sum_{j=1}^m \beta_j \mu(B_j)\\
&= \int_X s\ \text{d} \mu + \int_X t\ \text{d} \mu\; .
\end{split}
\]
\[
{s}={\Sigma_{{{i}}}^{{{n}}}}\alpha_{{{i}}}\chi{\left({A}_{{i}}\right)} \qquad \text{e}\qquad {t}={\Sigma_{{{j}}}^{{{m}}}}\beta_{{{j}}}\chi{\left({B}_{{j}}\right)}\; .
\]
Ora è un banale giochetto algebrico dimostrare che:
\[
s+t =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m (\alpha_i+\beta_j)\ \chi (A_i\cap B_j)
\]
sicché \(s+t\) è una funzione semplice misurabile corrispondente alla partizione:
\[
\begin{split}
\{A_i\cap B_j\}_{i=1,\ldots ,n,\ j=1,\ldots ,m} = \{ &A_1\cap B_1,\ldots ,A_1\cap B_m, \\
&A_2\cap B_1,\ldots ,A_2\cap B_m,\ldots , \\
&A_n\cap B_1,\ldots ,A_n\cap B_m\}\; .
\end{split}
\]
Ma allora per definizione:
\[
\begin{split}
\int_X (s+t)\ \text{d}\mu &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (\alpha_i +\beta_j)\mu (A_i\cap B_j)\\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \alpha_i\mu (A_i\cap B_j) +\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \beta_j\mu (A_i\cap B_j)\\
&= \sum_{i=1}^n \alpha_i \left( \sum_{j=1}^m \mu (A_i\cap B_j)\right) +\sum_{j=1}^m \beta_j \left( \sum_{i=1}^n \mu (A_i\cap B_j) \right)\\
&= \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(A_i) + \sum_{j=1}^m \beta_j \mu(B_j)\\
&= \int_X s\ \text{d} \mu + \int_X t\ \text{d} \mu\; .
\end{split}
\]
"gugo82":Il fatto noto sarebbe...?
Prendi due funzioni semplici \(s,\ t\) e misurabili: per noti fatti puoi determinare due uniche partizioni \(\{A_1,\ldots ,A_n\},\ \{B_1,\ldots ,B_m\}\) di \(X\) fatte da insiemi misurabili tali che:
\[
{s}={\Sigma_{{{i}}}^{{{n}}}}\alpha_{{{i}}}\chi{\left({C}_{{i}}\right)} \qquad \text{e}\qquad {t}={\Sigma_{{{j}}}^{{{m}}}}\beta_{{{j}}}\chi{\left({D}_{{j}}\right)}\; .
\]
Supponiamo che le funzioni siano
\[{s}={\Sigma_{{{i}}}^{{{n}}}}\gamma_{{{i}}}\chi{\left({A}_{{i}}\right)} \qquad \text{e}\qquad {t}={\Sigma_{{{j}}}^{{{m}}}}\theta_{{{j}}}\chi{\left({B}_{{j}}\right)}\; .\]
Quello che devo mostrare è che posso trovare
ue uniche partizioni \(\{A_1,\ldots ,A_n\},\ \{B_1,\ldots ,B_m\}\) di \(X\) fatte da insiemi misurabili tali che:Ovvero riesprimere le funzioni con questi domini?
\[
{s}={\Sigma_{{{i}}}^{{{n}}}}\alpha_{{{i}}}\chi{\left({A}_{{i}}\right)} \qquad \text{e}\qquad {t}={\Sigma_{{{j}}}^{{{m}}}}\beta_{{{j}}}\chi{\left({B}_{{j}}\right)}\; .
\]
Beh, il fatto noto è un fatto di Algebra banale.
Supponiamo che le tua funzione semplice \(s\) assuma solo i valori \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\); allora in \(X\) introduciamo la relazione d'equivalenza:
\[
x\sim y \quad \Leftrightarrow \quad s(x)=s(y)\; .
\]
Chiaramente due elementi \(x\neq y\in X\) stanno nella stessa classe d'equivalenza [risp. in diverse classi] se e solo se si può trovare un \(i\in \{1,\ldots ,n\}\) tale che \(s(x)=\alpha_i=s(y)\) [risp. se si possono trovare \(i\neq j\in \{1,\ldots ,n\}\) tale che \(s(x)=\alpha_i\neq \alpha_j=s(y)\)]; pertanto le classi d'equivalenza in cui \(\sim \) partiziona \(X\) si possono mettere in corrispondenza biunivoca coi valori di \(\alpha_i\), e perciò posso chiamare tali classi \(A_1,\ldots ,A_n\) in modo che:
\[
\tag{1} \forall x\in A_i,\qquad s(x)=\alpha_i\; ,
\]
cioè \(A_i=s^{-1}(\alpha_i)\).
[Avrai notato che questa è una costruzione generale che restituisce una partizione finita nel caso delle funzioni semplici.]
D'altra parte, se la funzione \(s\) è misurabile allora gli \(A_i\) sono misurabili (perché essi sono le controimmagini dei chiusi \(\{\alpha_i\}\)).
Tirando le somme, se \(s\) è misurabile e semplice ed assume i valori \(\alpha_1,\ldots , \alpha_n\) possiamo determinare \(A_1,\ldots ,A_n\) misurabili a due a due disgiunti tali che \(X=\bigcup_{i=1}^n A_i\) ed inoltre scrivere:
\[
s(x) =\sum_{i=1}^n\alpha_i\ \chi_{A_i} (x)
\]
per la (1).
Supponiamo che le tua funzione semplice \(s\) assuma solo i valori \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\); allora in \(X\) introduciamo la relazione d'equivalenza:
\[
x\sim y \quad \Leftrightarrow \quad s(x)=s(y)\; .
\]
Chiaramente due elementi \(x\neq y\in X\) stanno nella stessa classe d'equivalenza [risp. in diverse classi] se e solo se si può trovare un \(i\in \{1,\ldots ,n\}\) tale che \(s(x)=\alpha_i=s(y)\) [risp. se si possono trovare \(i\neq j\in \{1,\ldots ,n\}\) tale che \(s(x)=\alpha_i\neq \alpha_j=s(y)\)]; pertanto le classi d'equivalenza in cui \(\sim \) partiziona \(X\) si possono mettere in corrispondenza biunivoca coi valori di \(\alpha_i\), e perciò posso chiamare tali classi \(A_1,\ldots ,A_n\) in modo che:
\[
\tag{1} \forall x\in A_i,\qquad s(x)=\alpha_i\; ,
\]
cioè \(A_i=s^{-1}(\alpha_i)\).
[Avrai notato che questa è una costruzione generale che restituisce una partizione finita nel caso delle funzioni semplici.]
D'altra parte, se la funzione \(s\) è misurabile allora gli \(A_i\) sono misurabili (perché essi sono le controimmagini dei chiusi \(\{\alpha_i\}\)).
Tirando le somme, se \(s\) è misurabile e semplice ed assume i valori \(\alpha_1,\ldots , \alpha_n\) possiamo determinare \(A_1,\ldots ,A_n\) misurabili a due a due disgiunti tali che \(X=\bigcup_{i=1}^n A_i\) ed inoltre scrivere:
\[
s(x) =\sum_{i=1}^n\alpha_i\ \chi_{A_i} (x)
\]
per la (1).
Accidenti, così mi smonti, ho solo un po' di rudimenti di algebra lineare 
Comunque stampo e lo rileggo con calma 
Comunque stampo e lo rileggo con calma
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