Misura degli insieme

[nicolo_galli22]

Ciao a tutti, avrei due domande da proporvi, in quanto mi trovo un po’ in difficoltà con la definizione di misura.Premetto che io fino adesso ho incontrato solo la definizione di misura secondo Peano-Jordan.
Detto questo comincio con le domande, la prima :se un insieme E non é misurabile allora qualsiasi funzione definita su quell’ insieme non é integrabile secondo Riemann?, la seconda: un insieme Che contiene un numero finito di elementi é misurabile?se si la sua misura é uguale a 0?
Grazie mille in anticipo

[gugo82]

Serve più contesto... Innanzitutto, una o più variabili?
Secondo, come ti è stato definito l'integrale?

Che poi un insieme finito sia sempre misurabile ed abbia misura nulla secondo P&J (sia in una che in più variabili/dimensioni) è un fatto banale: per dimostrarlo basta applicare la definizione.
Analogamente, si dimostra che anche gli insiemi infiniti che hanno un numero finito di punti di accumulazione sono misurabili ed hanno misura nulla secondo P&J.

[nicolo_galli22]

Hai perfettamente ragione.No io intendo in più dimensioni, e l’integrale mi é stato definito utilizzando le funzioni semplici definite su un rettangolo in $R^n$, una funzione f, si definisce integrabile se e solo se $ Sup int_(R^n )^() varphi = Infint_(R^n)^() psi $ dove rispettivamente una é la funzione semplice che ha valori inferiore uguale a f e l’altra con valori maggiori uguali a f.
Un altra cosa non mi é chiaro la seconda parte come faccio ad usare la definizione di misura su un insieme finito? A me come definizione di misura mi è stata data la seguente : $ m(E) = int_(R^n)^() lambda^E $dove $lambda$ é la funzione caratteristica di E.

[gugo82]

Scusa, non manca qualcosa?
Insomma, definisci l’integrale come estremo inferiore/superiore di integrali di funzioni semplici e la misura come l’integrale di una funzione semplice (quella caratteristica)… Ma com’è definito l’integrale di funzioni semplici?


P.S.: Che testo usi?