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25 mag 2006, 12:05

Esibire una successione di funzioni ${f_n}$ definite su $[a,b]$, Riemann integrabili in $[a,b]$, puntualmente convergenti in $[a,b]$ e tali che $lim_{ntooo}int_a^bf_n(x)dx != int_a^blim_{ntooo}f_n(x)dx$

Risposte

Luca.Lussardi

25 mag 2006, 10:24

E' molto facle; basta che prendi una successione di funzioni su $[0,1]$, ad esempio, con integrale costantemente pari a $1$, ma convergenti puntualmente a $0$. Geometricamente si fa subito, basta far fare dei picchi ai grafici....

Osservazione: la cosa non funzione se richiedi la convergenza uniforme, in quanto essa su un intervallo limitato implica il passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Principe2

25 mag 2006, 10:55

Sia ${q_n}_{n\in N}$ una numerazione dei razionali fra $0$ e $1$. Definendo $D_n(x)=1$ se $x=q_1,...,q_n$ e $D_n(x)=0$ altrove. Tutte le $D_n$ sono R-integrabili, ma il limite è la funzione di Dirichlet che addirittura non è R-integrabile

Luca.Lussardi

25 mag 2006, 11:48

Credo che il tuo esempio, per quanto logicamente corretto, non vada bene per la questione, in quanto nel testo dell'esercizio è implicito il fatto che il limite puntuale debba essere una funzione integrabile secondo Riemann.

Risponde comunque al fatto che la converegenza puntuale non implica il passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Principe2

25 mag 2006, 12:01

si, lo so che non c'entra niente..
però non ho resistito alla tentazione di metterlo..

Luca.Lussardi

25 mag 2006, 12:11

No, non è che non centra niente, centra e come, anzi, risponde al problema del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Solo che per come il testo è messo, mi pare di capire che fosse richiesto di esibire una successione che convergesse ad una funzione ancora integrabile, se no non avrebbe senso l'ultimo integrale scritto.

Principe2

25 mag 2006, 12:16

anche io infatti l'avevo interpretato in quel modo...
e dico che non c'entra niente nel senso che non risponde alla domanda...

domanda: ma si dice centra o c'entra?