Minorare la quantità $(1/n){cos(1/n) - (1 - 1/n)^(1/3)}$

[CosenTheta]

Devo dimostrare la costanza del segno della quantità del titolo.

Come detto nel post precedente, posso dire che $cos(1/n) > 1/2 \forall n \geq 1$, quindi scrivo che

$ (1/n){cos(1/n) - (1 - 1/n)^(1/3)} > (1/n){1/2 - (1 - 1/n)^(1/3)}$

ma a questo punto come potrei continuare?

[pilloeffe]

Ciao CosenTheta,

In effetti la serie $ \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n){cos(1/n) - (1 - 1/n)^(1/3)} $ mi risulta essere a termini positivi e convergente.

Se però vuoi dimostrare che è a termini positivi, mi semplificherei la vita evitando di portarmi dietro quel fattore $(1/n)$ che sai già essere sicuramente positivo $\forall n \in \NN$, quindi ti basta dimostrare che si ha:

$ cos(1/n) - (1 - 1/n)^(1/3) > 0 $

[CosenTheta]

Volevo proprio seguire la strada che hai seguito tu nell'ultimo post.

Si ha

${cos(1/n) - (1 - 1/n)^(1/3)} > {1/2 - (1 - 1/n)^(1/3)} $

però non saprei come andare avanti.

[Mephlip]

@CosenTheta: Con la tua strategia non riuscirai mai a dimostrare che ha segno costante: il motivo è che $\frac{1}{2}-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{1/3} \to -\frac{1}{2}$ per $n \to +\infty$, quindi la successione $b_n:=\frac{1}{2}-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{1/3}$ è definitivamente negativa e perciò, almeno per $n$ grandi, la stima dal basso è certamente inconcludente.

[pilloeffe]

"Mephlip":la stima dal basso è certamente inconcludente.

Eh beh, ha ragione Mephlip...
Comunque visto che sono tutte quantità positive, si può elevare tutto alla $3$ e si ha:

$cos^3(1/n) > 1 - 1/n \ge 0 $

$\forall n \in \NN $ vale la catena di disuguaglianze seguente:

$1 > cos(1/n) > cos^3(1/n) > 1 - 1/n \ge 0 $

[CosenTheta]

"pilloeffe":
$ \forall n \in \NN $ vale la catena di disuguaglianze seguente:

$cos^3(1/n) > 1 - 1/n \ge 0 $

Questo sempre guardando al grafico delle due successioni, suppongo. Analiticamente come si dimostra?

[pilloeffe]

"CosenTheta":Questo sempre guardando al grafico delle due successioni, suppongo.

Volendo, ma anche considerando la ben nota disuguaglianza $1 - cosx \le x^2/2 $ che con $x := 1/n $ e $n \in \NN $ diventa la seguente:

$1 - cos(1/n) < 1/(2n^2) $

$cos(1/n) > 1 - 1/(2n^2) > 1 - 1/n \ge 0$

valida $\forall n \in \NN $

[CosenTheta]

Si, mi interessa molto di più dimostrarlo per via analitica. Grazie.

[pilloeffe]

"CosenTheta":Grazie.

Prego!

"CosenTheta":Si, mi interessa molto di più dimostrarlo per via analitica.

Il modo più rapido che mi è venuto in mente è partendo da $|sin t | \le |t| $; ponendo $t := x/2 $ ed elevando al quadrato (cosa che possiamo fare perché sono tutte quantità positive) si ha:

$sin^2(x/2) \le x^2/4 $

Ricordando che $cos x = 1 - 2sin^2(x/2) $ si ha:

$1 - 2 sin^2(x/2) \ge 1 - x^2/2 \implies 1 - cos x \le x^2/2 \implies cos x \ge 1 - x^2/2 $

Chiaramente se $x := 1/n $ con $n \in \NN $ non sarà mai $x = 0 $ e quindi possiamo eliminare l'uguale dalla disuguaglianza.

[CosenTheta]

Chiaro.