Minorare funzione
Ciao ragazzi,
chiedo scusa anzitutto se questa domanda è già stata fatta , nel qual caso vi chiedo gentilmente di postarmela.
Sono alle prese con lo studio dei limiti di due variabili o meglio cerco di studiare la differenziabilità di funzioni applicando il teorema sul differenziale ,quindi controllo se la funzione $f$ è di classe $C^1(A)$ con $A$ insieme di definizione.
Il problema è che non sono tanto pratico con i limiti , volevo da voi sapere qualche tecnica per minorare le funzione, al esempio :
$g(x,y)= (x/(x^2+y^2))$ so che il limite in $(0,0)$ non esiste , ma come faccio a limitarla superiormente?
Nel qual caso potrei appurare che il limite totale vale zero , dato che ho altri fattori che mi annullano il limite.
è lecito fare $ 0<=(|x|/(x^2+y^2))$ = $((|x|/(x^2+y^2))*(|x|/|x|))=(x^2)/(|x|(x^2+y^2))<=(x^2)/|x|=|x|$
ma poi in questo modo ritrovo che il limite vale zero per il teorema dei carabinieri dato che $x$ tende a zero
chiedo scusa anzitutto se questa domanda è già stata fatta , nel qual caso vi chiedo gentilmente di postarmela.
Sono alle prese con lo studio dei limiti di due variabili o meglio cerco di studiare la differenziabilità di funzioni applicando il teorema sul differenziale ,quindi controllo se la funzione $f$ è di classe $C^1(A)$ con $A$ insieme di definizione.
Il problema è che non sono tanto pratico con i limiti , volevo da voi sapere qualche tecnica per minorare le funzione, al esempio :
$g(x,y)= (x/(x^2+y^2))$ so che il limite in $(0,0)$ non esiste , ma come faccio a limitarla superiormente?
Nel qual caso potrei appurare che il limite totale vale zero , dato che ho altri fattori che mi annullano il limite.
è lecito fare $ 0<=(|x|/(x^2+y^2))$ = $((|x|/(x^2+y^2))*(|x|/|x|))=(x^2)/(|x|(x^2+y^2))<=(x^2)/|x|=|x|$
ma poi in questo modo ritrovo che il limite vale zero per il teorema dei carabinieri dato che $x$ tende a zero
Risposte
La disuguaglianza $(x^2)/(|x|(x^2+y^2))<= x^2/|x|$ è vera solo se $x^2+y^2>=1$,
dunque non puoi usarla per $(x,y)$ vicino a $(0,0)$.
Per dimostrare che non esiste il limite, direi che è sufficiente notare che
per ogni $y!=0$ si ha $g(0,y)=0$ e per ogni $x!=0$ si ha $g(x,0)=1/x$
dunque non puoi usarla per $(x,y)$ vicino a $(0,0)$.
Per dimostrare che non esiste il limite, direi che è sufficiente notare che
per ogni $y!=0$ si ha $g(0,y)=0$ e per ogni $x!=0$ si ha $g(x,0)=1/x$
Buona sera è bene sapere che una funzione, ad esempio la sua $g(x,y)$, non regolare in $(0,0)$ non potrà essere maggiorata da alcuna funzione infinitesima in $(0,0)$. 
Per stabilire la non regolarità nell' origine della sua funzione è sufficiente osservare che è non limitata intorno a $(0,0)$ ed ivi assume valori positivi e negativi.
Cordiali saluti
Mino
Per stabilire la non regolarità nell' origine della sua funzione è sufficiente osservare che è non limitata intorno a $(0,0)$ ed ivi assume valori positivi e negativi.
Cordiali saluti
Mino
ma quindi come risolvete questo limite $lim({x, y}->{0, 0})(2 x)/((x^2+y^2) (x^2+y^2+1))-(2 x log(x^2+y^2+1))/(x^2+y^2)^2$ ,
ho come primo addendo un limite di una funzione che ha limite che vale 2 nello specifico: $lim_({x, y}->{0, 0}) 2/(x^2+y^2+1)=2$
per un limite di una funzione che non esiste cioè $lim_({x, y}->{0, 0}) x/(x^2+y^2) = non esiste $ ,
mentre a secondo addento ho $lim({x, y}->{0, 0}) log(x^2+y^2+1)/(x^2+y^2)=1$ che dovrebbe avere limite 1
per $lim({x, y}->{0, 0}) 2x=0$ che vale zero
ho come primo addendo un limite di una funzione che ha limite che vale 2 nello specifico: $lim_({x, y}->{0, 0}) 2/(x^2+y^2+1)=2$
per un limite di una funzione che non esiste cioè $lim_({x, y}->{0, 0}) x/(x^2+y^2) = non esiste $ ,
mentre a secondo addento ho $lim({x, y}->{0, 0}) log(x^2+y^2+1)/(x^2+y^2)=1$ che dovrebbe avere limite 1
per $lim({x, y}->{0, 0}) 2x=0$ che vale zero
ragazzi credo di aver risolto scusatemi se vi ho tirato in ballo per così poco ,
se metto in evidenza ottengo : $ lim_({x, y}->{0, 0}) ((2 x)/(x^2+y^2)) (1/(x^2+y^2+1)-( log(x^2+y^2+1))/(x^2+y^2)))$ che vale zero per quanto ho scritto sopra
se metto in evidenza ottengo : $ lim_({x, y}->{0, 0}) ((2 x)/(x^2+y^2)) (1/(x^2+y^2+1)-( log(x^2+y^2+1))/(x^2+y^2)))$ che vale zero per quanto ho scritto sopra
o forse mi sbaglio 
in questo modo ottengo $ non esiste *(1-1) =0 ?$
in questo modo ottengo $ non esiste *(1-1) =0 ?$
Non facciamo casino. Se il limite esiste, deve esistere in tutte le direzioni, in particolare quando la $y$ è nulla.
Ora, dato che:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\log(x^2+1)}{x}=0 \)
per De l'Hopital, Taylor, disuguaglianza di Bernoulli o quello che ti pare, il limite di partenza lungo la direzione $y=0$ è semplicemente:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2}{x} \)
che si guarda bene dall'esistere. Conseguentemente, non esiste neppure il limite di partenza.
Ora, dato che:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\log(x^2+1)}{x}=0 \)
per De l'Hopital, Taylor, disuguaglianza di Bernoulli o quello che ti pare, il limite di partenza lungo la direzione $y=0$ è semplicemente:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2}{x} \)
che si guarda bene dall'esistere. Conseguentemente, non esiste neppure il limite di partenza.
scusate ragazzi ma non ho potuto rispondere causa una brutta febbre alta 
Cmq il limite di partenza , almeno secondo wolfram , fa zero
Cmq il limite di partenza , almeno secondo wolfram , fa zero
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