Minimo relativo di f(x,y)
Salve sono nuovo su questo forum, avrei bisogno di qualche dritta su quest'esercizio:
"dimostrare, senza eseguire derivazioni, che la funzione f(x,y)=sin(x^2+y^2) - cos(x-y) ammette minimo relativo in (0,0)"
Ora il punto è che non potendo effettuare il test sulla matrice Hessiana, non mi vengono in mente molte idee se non quella di sviluppare la funzione usando le formule su seni e coseni. Ma anche in questo modo non riesco ad andare avanti.
"dimostrare, senza eseguire derivazioni, che la funzione f(x,y)=sin(x^2+y^2) - cos(x-y) ammette minimo relativo in (0,0)"
Ora il punto è che non potendo effettuare il test sulla matrice Hessiana, non mi vengono in mente molte idee se non quella di sviluppare la funzione usando le formule su seni e coseni. Ma anche in questo modo non riesco ad andare avanti.
Risposte
Ciao 0cool e benvenuto sul forum,
ti dico quello che penso ma poi riflettici tu e fammi sapere.
Intanto osserviamo che
$f(0;0)=0-1=-1$
ora allontanandoci un poco, poco mi raccomando, dall'origne il primo termine della nostra sottrazione (il minuendo$sin(x^2+y^2)$) non può che aumentare mentre il secondo (il sottraendo) rimane 1 lungo la bisettrice I e III quadrante, ma lungo le altre direzioni sempre minore di 1 è. Dunque la nostra funzione nell'origine vale $0-1=-1$ mentre lì intorno qualcosa più di 0 meno qualcosa più piccolo di 1, dunque in definitiva qualcosa più di $-1$
ti dico quello che penso ma poi riflettici tu e fammi sapere.
Intanto osserviamo che
$f(0;0)=0-1=-1$
ora allontanandoci un poco, poco mi raccomando, dall'origne il primo termine della nostra sottrazione (il minuendo$sin(x^2+y^2)$) non può che aumentare mentre il secondo (il sottraendo) rimane 1 lungo la bisettrice I e III quadrante, ma lungo le altre direzioni sempre minore di 1 è. Dunque la nostra funzione nell'origine vale $0-1=-1$ mentre lì intorno qualcosa più di 0 meno qualcosa più piccolo di 1, dunque in definitiva qualcosa più di $-1$
bhe si, queste considerazioni le avevo fatte anche io, ma il punto che che non riesco proprio ad incanalarle verso una possibile dimostrazione, diciamo rigorosa. Continuerò a rifletterci su, grazie cmq.
Ciao. Provo a rendere più formale quello che ha scritto gio73 (che saluto).
Nel cerchio: $x^2+y^2<=pi$ (di cui l'origine è punto interno, precisamente è il centro) è : $sin(x^2+y^2)>=0$ ,
mentre in tutto $RR^2$ è certamente $-cos(x-y)>=-1$ ;
sommando si trova : $f(x,y)=sin(x^2+y^2)-cos(x-y)>=-1$ per ogni punto del cerchio;
essendo $f(0,0)=-1$, in tutto il cerchio di cui sopra è $f(x,y)>=f(0,0)$ , quindi l'origine è un punto di minimo relativo.
Funziona?
Nel cerchio: $x^2+y^2<=pi$ (di cui l'origine è punto interno, precisamente è il centro) è : $sin(x^2+y^2)>=0$ ,
mentre in tutto $RR^2$ è certamente $-cos(x-y)>=-1$ ;
sommando si trova : $f(x,y)=sin(x^2+y^2)-cos(x-y)>=-1$ per ogni punto del cerchio;
essendo $f(0,0)=-1$, in tutto il cerchio di cui sopra è $f(x,y)>=f(0,0)$ , quindi l'origine è un punto di minimo relativo.
Funziona?
Secondo me è tutto molto semplice e procederei così.
Il coseno in 0 ha un massimo e siccome nell'espressione ha ilsegno meno davanti diventa un minimo.
$x^2+y^2$ è zero nell'origine ed è sempre positiva, quindi ha un minimo, quindi anche il seno ha un minimo.
Più meno il concetto dovrebbe essere questo.
Il coseno in 0 ha un massimo e siccome nell'espressione ha ilsegno meno davanti diventa un minimo.
$x^2+y^2$ è zero nell'origine ed è sempre positiva, quindi ha un minimo, quindi anche il seno ha un minimo.
Più meno il concetto dovrebbe essere questo.
grazie mille 
, sono abbastanza d'accordo con Palliit
, sono abbastanza d'accordo con Palliit
"Palliit":
Ciao. Provo a rendere più formale quello che ha scritto gio73 (che saluto).
Ricambio il saluto Palliit
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