Minimo periodo

[anto_zoolander]

Stavo aiutando un ragazzo con le periodicità di una funzione goniomrtrica e mi è saltato in testa di trovato il periodo di una funzione goniometrica del tipo $f(x)=asin(kx+p)+bcos(hx+q)$

Sono arrivato al fatto che dovendo essere $T$ un periodo allora

$f(x)=f(x+T)$ sse $asin(kx+p)+bcos(hx+q)=asin(kx+p+kT)+bcos(hx+q+hT)$

Ovvero ${(hT=2npi),(kT=2mpi):}$ obv $kne0neh$

Da cui ${(T=(2npi)/h),(hm=kn):}$

Per tanto il problema si riduce nel trovare $(m,n)inNN_0 timesNN_0$ tali che $hm=kn$.
Quindi il minimo periodo è $min{(m,n)inNN_0timesNN_0:hm=kn}$

È corretto?

[spugna2]

La risposta dovrebbe essere giusta (a patto che alcuni parametri non siano nulli), ma non mi è chiaro un passaggio:

"anto_zoolander":$asin(kx+p)+bcos(hx+q)=asin(kx+p+kT)+bcos(hx+q+hT)$

Ovvero ${(hT=2npi),(kT=2mpi):}$ obv $kne0neh$

Non mi sembra ovvio che si possano uguagliare i singoli termini (anche se quasi sicuramente si può)...

[dissonance]

Sono d'accordo con Spugna, non è ben giustificato. Prova a calcolare la derivata dell'identità con T, vedi un po' che succede

[anto_zoolander]

Allora: $m,n$ sono due termini interi qualsiasi e $k,h$ li prendo non nulli perché non sono i casi che mi interessano.

Quel passaggio è dato dal fatto che se esistono $(n,m)$ interi che soddisfano quel sistema allora ottengo sicuramente un periodo della funzione. Non sto affermando che sia l’unico modo, ma che fornisca sicuramente un periodo.