Minimo perimetro - massima area
Sto leggendo The Cauchy-Schwarz Master Class di Steele e mi ritrovo con un passaggio logico dato per scontato dall'autore ma che mi lascia perplesso. Si tratta della disuguaglianza
\[4\sqrt{xy}\le 2x+2y, \]
che l'autore reinterpreta come:
(1) "tra tutti i rettangoli di area fissata, il quadrato è quello col perimetro più piccolo". Poi continua:
"Equivalentemente,
(2) tra tutti i rettangoli di perimetro fissato, il quadrato è quello con l'area più grande".
Mentre sono convinto della veridicità dell'ultima affermazione, non lo sono altrettanto per quell'"equivalentemente". Mi pare infatti che da un punto di vista logico la (1) e la (2) siano indipendenti l'una dall'altra e pertanto andrebbero dimostrate separatamente. Allo stesso tempo però sospetto di commettere un errore perché questo svuoterebbe completamente il senso del discorso intrapreso dall'autore.
Che ne dite?
\[4\sqrt{xy}\le 2x+2y, \]
che l'autore reinterpreta come:
(1) "tra tutti i rettangoli di area fissata, il quadrato è quello col perimetro più piccolo". Poi continua:
"Equivalentemente,
(2) tra tutti i rettangoli di perimetro fissato, il quadrato è quello con l'area più grande".
Mentre sono convinto della veridicità dell'ultima affermazione, non lo sono altrettanto per quell'"equivalentemente". Mi pare infatti che da un punto di vista logico la (1) e la (2) siano indipendenti l'una dall'altra e pertanto andrebbero dimostrate separatamente. Allo stesso tempo però sospetto di commettere un errore perché questo svuoterebbe completamente il senso del discorso intrapreso dall'autore.
Che ne dite?
Risposte
C'è una "dualità" quasi naturale tra perimetro ed area, e ciò lo puoi vedere in quasi ogni sorta di teorema isoperimetrico.
Ad esempio, prendi la classica disuguaglianza isoperimetrica piana:
\[
\tag{DI} \forall E\subset \mathbb{R}^2,\quad \mathcal{P}^2(E)\geq 4\pi \mathcal{A}(E)\; ,
\]
in cui \(\mathcal{A}(\cdot),\ \mathcal{P}(\cdot)\) sono area (diciamo, la misura di Lebesgue) e perimetro (comunque questo sia definito) di figure piane.
La disuguaglianza (DI) si può riformulare in due modi equivalenti fissando o l'area od il perimetro delle figure coinvolte, i.e.:
\[
\tag{1} \forall E\subset \mathbb{R}^2 \text{ con } \mathcal{A}(E)=a,\quad \mathcal{P}^2(E)\geq 4\pi a\; ,
\]
ed:
\[
\tag{2} \forall E\subset \mathbb{R}^2 \text{ con } \mathcal{P}^2(E)=p^2,\quad \mathcal{A}(E)\leq \frac{p^2}{4\pi}\; .
\]
In (1) hai, per fissata area \(a\), un lower bound per i perimetri delle figure aventi la stessa area; invece, in (2), per fissato perimetro \(p\), ottieni un upper bound per le aree delle figure aventi lo stesso perimetro.
Tra l'altro, se ci fai caso, i secondi membri di (1) e (2) sono, rispettivamente, il perimetro (al quadrato) di un cerchio avente area \(=a\) e l'area di un cerchio avente perimetro \(=p\): quindi la (1) ti dice che:
\[
\tag{1'} \min_{\mathcal{A}(E)=a}\mathcal{P}^2(E) =\mathcal{P}^2 (\text{cerchio con area } =a)\; ,
\]
mentre la (2) ti dà:
\[
\tag{2'} \max_{\mathcal{P}^2(E)=p^2}\mathcal{A}(E) =\mathcal{A}(\text{cerchio con perimetro}^2 =p^2)\; .
\]
Questa specie di dualità non è una cosa "strana": infatti è grossomodo lo stesso tipo di dualità che si riscontra nella Geometria Proiettiva bidimensionale tra punti e rette.
Nel caso proiettivo, si può ottenere un teorema duale da uno già provato sostituendo nell'enunciato del teorema:
Ad esempio, prendi la classica disuguaglianza isoperimetrica piana:
\[
\tag{DI} \forall E\subset \mathbb{R}^2,\quad \mathcal{P}^2(E)\geq 4\pi \mathcal{A}(E)\; ,
\]
in cui \(\mathcal{A}(\cdot),\ \mathcal{P}(\cdot)\) sono area (diciamo, la misura di Lebesgue) e perimetro (comunque questo sia definito) di figure piane.
La disuguaglianza (DI) si può riformulare in due modi equivalenti fissando o l'area od il perimetro delle figure coinvolte, i.e.:
\[
\tag{1} \forall E\subset \mathbb{R}^2 \text{ con } \mathcal{A}(E)=a,\quad \mathcal{P}^2(E)\geq 4\pi a\; ,
\]
ed:
\[
\tag{2} \forall E\subset \mathbb{R}^2 \text{ con } \mathcal{P}^2(E)=p^2,\quad \mathcal{A}(E)\leq \frac{p^2}{4\pi}\; .
\]
In (1) hai, per fissata area \(a\), un lower bound per i perimetri delle figure aventi la stessa area; invece, in (2), per fissato perimetro \(p\), ottieni un upper bound per le aree delle figure aventi lo stesso perimetro.
Tra l'altro, se ci fai caso, i secondi membri di (1) e (2) sono, rispettivamente, il perimetro (al quadrato) di un cerchio avente area \(=a\) e l'area di un cerchio avente perimetro \(=p\): quindi la (1) ti dice che:
\[
\tag{1'} \min_{\mathcal{A}(E)=a}\mathcal{P}^2(E) =\mathcal{P}^2 (\text{cerchio con area } =a)\; ,
\]
mentre la (2) ti dà:
\[
\tag{2'} \max_{\mathcal{P}^2(E)=p^2}\mathcal{A}(E) =\mathcal{A}(\text{cerchio con perimetro}^2 =p^2)\; .
\]
Questa specie di dualità non è una cosa "strana": infatti è grossomodo lo stesso tipo di dualità che si riscontra nella Geometria Proiettiva bidimensionale tra punti e rette.
Nel caso proiettivo, si può ottenere un teorema duale da uno già provato sostituendo nell'enunciato del teorema:
- [*:u2jms2ze] punto con retta, e viceversa;[/*:m:u2jms2ze]
[*:u2jms2ze] giacere su con passare per, e v.v.;[/*:m:u2jms2ze]
[*:u2jms2ze] allineati con concorrenti, e v.v.;[/*:m:u2jms2ze]
[*:u2jms2ze] \(\cap\) (intersezione) con \(\cup\) (unione), e v.v.[/*:m:u2jms2ze][/list:u:u2jms2ze]
(questo è il il cosiddetto Principio di Dualità di Gergonne).
Analogamente, dalla disuguaglianza isoperimetrica (DI) si ricavano le coppie di stime duali (1)-(2) ed (1')-(2'), in cui la prima stima è ottenibile dall'altra sostituendo:
- [*:u2jms2ze] \(\mathcal{A}(\cdot)\) con \(\mathcal{P}^2(\cdot)\), e viceversa;[/*:m:u2jms2ze]
[*:u2jms2ze] \(\geq \) con \(\leq\), e v.v.;[/*:m:u2jms2ze]
[*:u2jms2ze] \(\min\) con \(\max\), e v.v.[/*:m:u2jms2ze][/list:u:u2jms2ze]
***
Inoltre, tornando alla tua disuguaglianza:
"dissonance":
Si tratta della disuguaglianza
\[4\sqrt{xy}\le 2x+2y, \]
che l'autore reinterpreta come:
(1) "tra tutti i rettangoli di area fissata, il quadrato è quello col perimetro più piccolo". Poi continua:
"Equivalentemente,
(2) tra tutti i rettangoli di perimetro fissato, il quadrato è quello con l'area più grande".
nota che la puoi riscrivere come \(16 xy\leq (2x+2y)^2\), ossia:
\[
16 \mathcal{A}(R) \leq \mathcal{P}^2 (R)\; ,
\]
(ove \(\mathcal{A}(\cdot),\ \mathcal{P}(\cdot)\) sono come sopra ma ristrette ai rettangoli) e da questa semplice riscrittura segue immediatamente l'equivalenza delle due interpretazioni fornite dal testo.
Buona sera a tutti!
Ma la semplice interpretazione algebrica di quella disuguaglianza proprio no,vero?
Era tanto comodo notare che $(sqrt(x)-sqrt(y))^2>=0$ $AA(x,y)inRR^2rArrcdots$
Va bene,
allora cerchiamo d'arrivarci con mezzi elementari,
che per la visuale più ampia c'ha pensato Gugo come sempre
(m'è parsa molto "bella",forse anche perchè non avevo proprio nemmeno intravisto l'interpretazione della tua equivalenza logica tramite il principio di dualità!):
vediamo un pò..
Se cerchiamo il massimo di f(x,y)=2(x+y) sotto la condizione xy=A,con A noto,
lo otteniamo in qualche passaggio per x=y=$sqrt(A)$,
ovvero per un quadrato di lato $sqrt(A)$;
detto allora p il perimetro di tale "rettangolo" avremmo p=$4sqrt(A)$(1) e,
se poi provassimo a cercare i rettangoli di perimetro p con area minima
(ovvero il min di g(x,y)=xy sotto il vincolo 2x+2y=p..),
sarebbe abbastanza facile provare analiticamente che essi si ridurrebbero al quadrato di lato $p/4$,
ovvero al "rettangolo" di cui sopra per la (1):
il viceversa si dimostra analogamente,direi,e dunque c'è equivalenza logica nelle due ricerche
(conducono entrambe a figure congruenti..)!
Era questo lo spirito dimostrativo che cercavi per toglierti i dubbi?
Te lo chiedo perchè non vorrei esser stato troppo "ingenuo" in questa mia formalizzazione d'una,per dirla con Sergio,
evidenza evidente:
saluti dal web.
Ma la semplice interpretazione algebrica di quella disuguaglianza proprio no,vero?
Era tanto comodo notare che $(sqrt(x)-sqrt(y))^2>=0$ $AA(x,y)inRR^2rArrcdots$
Va bene,
allora cerchiamo d'arrivarci con mezzi elementari,
che per la visuale più ampia c'ha pensato Gugo come sempre
(m'è parsa molto "bella",forse anche perchè non avevo proprio nemmeno intravisto l'interpretazione della tua equivalenza logica tramite il principio di dualità!):
vediamo un pò..
Se cerchiamo il massimo di f(x,y)=2(x+y) sotto la condizione xy=A,con A noto,
lo otteniamo in qualche passaggio per x=y=$sqrt(A)$,
ovvero per un quadrato di lato $sqrt(A)$;
detto allora p il perimetro di tale "rettangolo" avremmo p=$4sqrt(A)$(1) e,
se poi provassimo a cercare i rettangoli di perimetro p con area minima
(ovvero il min di g(x,y)=xy sotto il vincolo 2x+2y=p..),
sarebbe abbastanza facile provare analiticamente che essi si ridurrebbero al quadrato di lato $p/4$,
ovvero al "rettangolo" di cui sopra per la (1):
il viceversa si dimostra analogamente,direi,e dunque c'è equivalenza logica nelle due ricerche
(conducono entrambe a figure congruenti..)!
Era questo lo spirito dimostrativo che cercavi per toglierti i dubbi?
Te lo chiedo perchè non vorrei esser stato troppo "ingenuo" in questa mia formalizzazione d'una,per dirla con Sergio,
evidenza evidente:
saluti dal web.
Cari signori, perdonatemi il ritardo nella risposta ma è un periodo in cui sono molto impegnato.
Comunque, ho capito il ragionamento di Sergio che, all'inverso, suona così: preso un rettangolo di perimetro \(p\) e area \(A\), per la disuguaglianza riportata nel primo post si ha che il quadrato di area \(A\) ha perimetro più piccolo di \(p\) e dunque occorre ingrandirne i lati perché il suo perimetro raggiunga tale valore. Nel fare questo aumenta anche l'area. Abbiamo così mostrato che per ogni rettangolo esiste un quadrato di uguale perimetro e area maggiore, che è esattamente l'affermazione (2) del primo post.
Sono contento, comunque, di scoprire che c'è qualcosa di più profondo sotto tutto questo, come ci mostra Gugo. Del resto era questo l'obiettivo dell'autore del libro.
@theras:
Comunque, ho capito il ragionamento di Sergio che, all'inverso, suona così: preso un rettangolo di perimetro \(p\) e area \(A\), per la disuguaglianza riportata nel primo post si ha che il quadrato di area \(A\) ha perimetro più piccolo di \(p\) e dunque occorre ingrandirne i lati perché il suo perimetro raggiunga tale valore. Nel fare questo aumenta anche l'area. Abbiamo così mostrato che per ogni rettangolo esiste un quadrato di uguale perimetro e area maggiore, che è esattamente l'affermazione (2) del primo post.
Sono contento, comunque, di scoprire che c'è qualcosa di più profondo sotto tutto questo, come ci mostra Gugo. Del resto era questo l'obiettivo dell'autore del libro.
@theras:
Era tanto comodo notare che \( (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge 0\)...Certo, e il punto dell'autore è proprio qui: ogni disuguaglianza può essere interpretata e dimostrata in vari modi. Precisamente
"Steele":Puoi consultare il testo già citato, all'inizio del secondo capitolo.
Is it possible that the humble bound (2.1) has a deeper physical or geometric
interpretation that might reveal the reason for its effectiveness?
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