Minimo locale
Ciao a tutti.
Mi è data una funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)^2(y-x^4- \alpha)$ con $\alpha \in \mathbb {R}$ e mi si chiede per quali valori di $\alpha$ il punto $(0,0)$ sia di minimo locale.
Ovviamente il gradiente della funzione si annulla nel punto $(0,0) \forall \alpha \in \mathbb{R}$. Ho calcolato le derivate parziali seconde e miste e si annullano tutte in quel punto e di conseguenza il determinante della matrice Hessiana è nullo per qualsiasi valore di $\alpha$. Provare con le curve di livello mi sembra un suicidio, e credo sia improbabile che si riesca a ricavare la $y$. Non so come muovermi.
Mi è data una funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)^2(y-x^4- \alpha)$ con $\alpha \in \mathbb {R}$ e mi si chiede per quali valori di $\alpha$ il punto $(0,0)$ sia di minimo locale.
Ovviamente il gradiente della funzione si annulla nel punto $(0,0) \forall \alpha \in \mathbb{R}$. Ho calcolato le derivate parziali seconde e miste e si annullano tutte in quel punto e di conseguenza il determinante della matrice Hessiana è nullo per qualsiasi valore di $\alpha$. Provare con le curve di livello mi sembra un suicidio, e credo sia improbabile che si riesca a ricavare la $y$. Non so come muovermi.
Risposte
La funzione in $(0,0)$ vale $f(0,0)=-\alpha$. Ora, affinche tale punto sia un minimo locale, dovrà accadere che per ogni $(x,y)\in B_r((0,0))$ (il cerchio di centro l'origine e raggio $r>0$) si abbia $f(x,y)> -\alpha$. Cerca di ricavare, da questa ultima equazione, una qualche condizione per la $\alpha$. (Suggerimento: se scegli i punti nel cerchio, allora puoi parametrizzarli in coordinate polari, e l'equazione dovrebbe semplificarsi).
Scusa, ma $f(0,0)=(0+0)^2(0-0-\alpha)=0*(-\alpha)=0$,giusto? solo per precisione per chi leggesse...comunque dopo provo così e poi posto. Intanto grazie mille per l'aiuto. 
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