Minimo limite di una successione reale
Buon pomeriggio.
Ho dei dubbi riguardo un esercizio.
Devo dimostrare che
dire che il minimo limite di una successione reale è $-infty$ equivale all'esistenza di una estratta divergente negativamente.
Poiché il minimo limite è, per definizione, uguale a $text{sup} _{k in N} text{inf}_{n>=k} a_n$ e poiché $text{inf}_{n>=k} a_n$ è l'insieme degli estremi inferiori delle sottosuccessioni estratte, ho pensato che, dire che il minimo limite $-infty $, equivalga a dire che l'estremo superiore di tale insieme sia $-infty $ e che, pertanto, tale insieme debba essere vuoto, ovvero le sottosuccessioni estratte non hanno estremo inferiore, ovvero sono illimitate inferiormente.
È corretto?
Grazie in anticipo
Ho dei dubbi riguardo un esercizio.
Devo dimostrare che
dire che il minimo limite di una successione reale è $-infty$ equivale all'esistenza di una estratta divergente negativamente.
Poiché il minimo limite è, per definizione, uguale a $text{sup} _{k in N} text{inf}_{n>=k} a_n$ e poiché $text{inf}_{n>=k} a_n$ è l'insieme degli estremi inferiori delle sottosuccessioni estratte, ho pensato che, dire che il minimo limite $-infty $, equivalga a dire che l'estremo superiore di tale insieme sia $-infty $ e che, pertanto, tale insieme debba essere vuoto, ovvero le sottosuccessioni estratte non hanno estremo inferiore, ovvero sono illimitate inferiormente.
È corretto?
Grazie in anticipo
Risposte
Oppure è meglio dire che la sottosuccessione estratta cercata è
$ (b_k)_k$ con $b_k=text( inf) _{n>=k} a_n$?
$ (b_k)_k$ con $b_k=text( inf) _{n>=k} a_n$?
"Ianya":
Oppure è meglio dire che la sottosuccessione estratta cercata è
$ (b_k)_k$ con $b_k=text( inf) _{n>=k} a_n$?
Credo che questo sia sbagliato in quanto non posso affermare che $ (b_k) $ sia una sottosuccessione estratta poiché , riguardo i suoi termini, posso solo dire che sono gli estremi inferiori di sottosuccessioni estratte
Infatti. 
Ad esempio, se $a_n = sin n$ si dimostra che \(b_k:=\inf_{n\geq k} \sin n = -1\)... Però la successione $(b_k)$ non è estratta da $(a_n)$!
Ad esempio, se $a_n = sin n$ si dimostra che \(b_k:=\inf_{n\geq k} \sin n = -1\)... Però la successione $(b_k)$ non è estratta da $(a_n)$!
Quindi come posso procedere? Come ho scritto nel primo messaggio va bene?
@ Ianya: A me hanno insegnato che la costruzione del minimo limite con la successione \(b_k:=\inf_{n\geq k} a_n\) è lecita quando la successione $(a_n)$ è limitata inferiormente.
Quando $(a_n)$ non è limitata inferiormente, mi hanno insegnato a porre \(\operatorname{minlim} a_n=-\infty\) per definizione (cosicché questa scrittura è solo un altro modo di esprimere \(\inf a_n =-\infty\)).
In tale ottica, dire che l'essere \(\operatorname{minlim} a_n=-\infty\) implica che esiste una sottosuccessione negativamente divergente è abbastanza banale: infatti, dato che \((a_n)\) non è limitata inferiormente, in corrispondenza di $k=1$ è possibile determinare $n_1$ tale che $a_{n_1}<-1$; in corrispondenza di $k=2$ è possibile determinare $n_2$ in guisa che $n_2>n_1$ ed $a_{n_2}<-2$; fissato $k=3$ si trova $n_3$ in modo che $n_3>n_2$ ed $a_{n_3}<-3$; etc... In tal modo costruisci una sottosuccessione negativamente divergente sfruttando la non limitatezza dal basso di $(a_n)$.
Il viceversa è, invece, banalissimo: infatti, se esiste \((a_{n_k})\) estratta da $(a_n)$ che diverge negativamente, $(a_n)$ non è inferiormente limitata.
Quando $(a_n)$ non è limitata inferiormente, mi hanno insegnato a porre \(\operatorname{minlim} a_n=-\infty\) per definizione (cosicché questa scrittura è solo un altro modo di esprimere \(\inf a_n =-\infty\)).
In tale ottica, dire che l'essere \(\operatorname{minlim} a_n=-\infty\) implica che esiste una sottosuccessione negativamente divergente è abbastanza banale: infatti, dato che \((a_n)\) non è limitata inferiormente, in corrispondenza di $k=1$ è possibile determinare $n_1$ tale che $a_{n_1}<-1$; in corrispondenza di $k=2$ è possibile determinare $n_2$ in guisa che $n_2>n_1$ ed $a_{n_2}<-2$; fissato $k=3$ si trova $n_3$ in modo che $n_3>n_2$ ed $a_{n_3}<-3$; etc... In tal modo costruisci una sottosuccessione negativamente divergente sfruttando la non limitatezza dal basso di $(a_n)$.
Il viceversa è, invece, banalissimo: infatti, se esiste \((a_{n_k})\) estratta da $(a_n)$ che diverge negativamente, $(a_n)$ non è inferiormente limitata.
Grazie
Mi sono resa conto di una cosa: non posso sfruttare il fatto che la successione sia limitata inferiormente perché è tra le cose che devo dimostrare. Però, poiché so che il minimo limite è $-infty $, so che la successione $(b_k) $ è limitata inferiormente, quindi $AA epsilon >0, EE nu : k>nu rArr b_k<-epsilon$
Quindi posso procedere come hai detto tu, considerando $epsilon =1,2,... $
Posso sfruttare il fatto che
$ b_k= text{inf}_(n≥k) a_n$ per poter dire che
$EE n_1 > k > nu_1 : a_n1 < - 1$
e così via, costruendo così la sottosuccessione della quale ho bisogno?
Quindi posso procedere come hai detto tu, considerando $epsilon =1,2,... $
Posso sfruttare il fatto che
$ b_k= text{inf}_(n≥k) a_n$ per poter dire che
$EE n_1 > k > nu_1 : a_n1 < - 1$
e così via, costruendo così la sottosuccessione della quale ho bisogno?
"Ianya":
Mi sono resa conto di una cosa: non posso sfruttare il fatto che la successione sia limitata inferiormente perché è tra le cose che devo dimostrare.
Perché?
Dove ho usato il fatto che la successione è limitata dal basso?
(E poi, perché avrei dovuto usarlo, visto che contrasta con ciò che voglio provare?)
Mi pare che la richiesta iniziale fosse la dimostrazione del seguente fatto:
Si ha \(\operatorname{minlim} a_n=-\infty\) se è solo se esiste una successione estratta da $(a_n)$ che diverge negativamente.
e non vedo da nessuna parte l'ipotesi che $(a_n)$ sia limitata inferiormente o meno.
Scusa, ho sbagliato a scrivere, volevo scrivere "illimitata inferiormente"
Stessa cosa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo