Minimo globale - sondaggio veloce!
Ciao a tutti,
questa volta vi chiedo solo un aiuto veloce sotto forma di sondaggio, si tratta di un problema di minimo globale a risposta multipla e penso di averlo risolto, ma vorrei il vostro parere...
Insomma:
Trovare un minimo globale della funzione nell'insieme indicato.
$f(x,y) = -x^2-8y^2$ nell'insieme $x^2 + y^2 = 1$
Io ho scritto la funzione $L(x,y,\lambda) = -x^2 - 8y^2 + \lambda(x^2 + y^2 - 1) = 0$
Poi ho trovato:
$(delL)/(delx)=-2x+2\lambdax=0$, da cui: $\lambda=1$
$(delL)/(dely)=-16y+2\lambday=0$, da cui: $y=0$
$(delL)/(del\lambda)=x^2+y^2-1=0$, da cui: $x^2=1$
Per cui i punti di minimo globale mi verrebbero (1;0) e (-1;0), da cui risposta (A)...
Confermate???
Grazie a tutti ciao!
questa volta vi chiedo solo un aiuto veloce sotto forma di sondaggio, si tratta di un problema di minimo globale a risposta multipla e penso di averlo risolto, ma vorrei il vostro parere...
Insomma:
Trovare un minimo globale della funzione nell'insieme indicato.
$f(x,y) = -x^2-8y^2$ nell'insieme $x^2 + y^2 = 1$
Io ho scritto la funzione $L(x,y,\lambda) = -x^2 - 8y^2 + \lambda(x^2 + y^2 - 1) = 0$
Poi ho trovato:
$(delL)/(delx)=-2x+2\lambdax=0$, da cui: $\lambda=1$
$(delL)/(dely)=-16y+2\lambday=0$, da cui: $y=0$
$(delL)/(del\lambda)=x^2+y^2-1=0$, da cui: $x^2=1$
Per cui i punti di minimo globale mi verrebbero (1;0) e (-1;0), da cui risposta (A)...
Confermate???
Grazie a tutti ciao!
Risposte
Hmm... Qualcosa non va. Secondo me la risposta giusta è $(0, 1), (0, -1)$. C'è anche un metodo più veloce dei tuoi moltiplicatori di Lagrange: $x^2+y^2=1$ è l'equazione della circonferenza unitaria, che si può scrivere in forma parametrica come ${(x=cos\theta), (y=\sin theta):}$. Perciò per trovare i punti di minimo puoi valutare $f(costheta, sin theta)$ e minimizzare la funzione di $theta$ risultante: è facile perché
$f(costheta, sin theta)=-1-sin^2theta$
e chiaramente assume il minimo valore quando $sin^2theta$ assume il massimo valore, e cioè per $theta=pi/2, 3/2pi$. In coordinate cartesiane questo corrisponde ai punti $(0, 1), (0, -1)$. E infatti $f(0,+- 1)=-8$, mentre $f(+-1, 0)=-1$.
$f(costheta, sin theta)=-1-sin^2theta$
e chiaramente assume il minimo valore quando $sin^2theta$ assume il massimo valore, e cioè per $theta=pi/2, 3/2pi$. In coordinate cartesiane questo corrisponde ai punti $(0, 1), (0, -1)$. E infatti $f(0,+- 1)=-8$, mentre $f(+-1, 0)=-1$.
I minimi globali in quel dominio sono [tex]$(0,1)$[/tex] e [tex]$(0,-1)$[/tex].
Fatti un'idea dal grafico:
Fatti un'idea dal grafico:
[OT]Che software hai usato per il grafico, Mathcrazy? E' bello!
Azz...
Meno male che ho chiesto il vostro parere, ero quasi in dubbio se farlo o meno tanto ero sicura!!!
Cmq come al solito grazieeeeee!!!!
Meno male che ho chiesto il vostro parere, ero quasi in dubbio se farlo o meno tanto ero sicura!!!
Cmq come al solito grazieeeeee!!!!
"dissonance":
[OT]Che software hai usato per il grafico, Mathcrazy? E' bello!
Dovrebbe essere Mathematica, della Wolfram (penso).
Altro metodo semplice è quello delle curve di livello.
Il vincolo [tex]$\Gamma$[/tex] è la circonferenza unitaria.
Le curve di livello della tua [tex]$f$[/tex], ossia le curve di equazione [tex]$f(x,y)=k$[/tex] (con [tex]$k\in \mathbb{R}$[/tex]), si ottengono per [tex]$k\leq 0$[/tex]; per [tex]$k<0$[/tex] sono le ellissi del fascio:
[tex]$\left( \frac{x}{\sqrt{|k|}}\right)^2 + \left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{|k|}}\ y \right)^2 =1$[/tex],
mentre per [tex]$k=0$[/tex] l'ellisse è degenere perchè tutta contratta nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]; inoltre, più si prende [tex]$k$[/tex] negativo, tanto più l'ellisse "si allarga" (ma il rapporto tra i semiassi [tex]$a=\sqrt{|k|}$[/tex] e [tex]$b=\frac{\sqrt{|k|}}{2\sqrt{2}}$[/tex] rimane costante).
Disegnando, troviamo:
[asvg]xmin=-3.5;xmax=3.5;ymin=-3.5;ymax=3.5;
axes("","");
circle([0,0],1);
stroke="red"; dot([0,0]); ellipse([0,0],1,0.35); ellipse([0,0],2,0.71); ellipse([0,0],2.82,1); ellipse([0,0],3.46,1.22);
stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0],[2,-4]);[/asvg]
ove in nero è il vincolo, in rosso le ellissi di livello (corrispondenti a diversi valori del parametro [tex]$k$[/tex]) e in blu la freccia che indica la direzione in cui si allargano le ellissi per [tex]$k\to -\infty$[/tex].
L'ultima curva di livello che tocca il vincolo è l'ellisse che si ottiene per [tex]$k=-8$[/tex] ed i punti d'intersezione tra la curva di livello ed il vincolo sono i punti [tex]$(0,\pm 1)$[/tex]: pertanto tali punti sono di minimo assoluto per [tex]$f$[/tex] sulla circonferenza.
Inoltre il valore di [tex]$k$[/tex] per cui si ottiene l'ultima curva di livello a toccare il vincolo dà proprio il minimo assoluto di [tex]$f$[/tex] sul vincolo: perciò si ha [tex]$\min_\Gamma f =-8$[/tex].
P.S.: Anch'io credo sia Mathematica.
Il vincolo [tex]$\Gamma$[/tex] è la circonferenza unitaria.
Le curve di livello della tua [tex]$f$[/tex], ossia le curve di equazione [tex]$f(x,y)=k$[/tex] (con [tex]$k\in \mathbb{R}$[/tex]), si ottengono per [tex]$k\leq 0$[/tex]; per [tex]$k<0$[/tex] sono le ellissi del fascio:
[tex]$\left( \frac{x}{\sqrt{|k|}}\right)^2 + \left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{|k|}}\ y \right)^2 =1$[/tex],
mentre per [tex]$k=0$[/tex] l'ellisse è degenere perchè tutta contratta nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]; inoltre, più si prende [tex]$k$[/tex] negativo, tanto più l'ellisse "si allarga" (ma il rapporto tra i semiassi [tex]$a=\sqrt{|k|}$[/tex] e [tex]$b=\frac{\sqrt{|k|}}{2\sqrt{2}}$[/tex] rimane costante).
Disegnando, troviamo:
[asvg]xmin=-3.5;xmax=3.5;ymin=-3.5;ymax=3.5;
axes("","");
circle([0,0],1);
stroke="red"; dot([0,0]); ellipse([0,0],1,0.35); ellipse([0,0],2,0.71); ellipse([0,0],2.82,1); ellipse([0,0],3.46,1.22);
stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0],[2,-4]);[/asvg]
ove in nero è il vincolo, in rosso le ellissi di livello (corrispondenti a diversi valori del parametro [tex]$k$[/tex]) e in blu la freccia che indica la direzione in cui si allargano le ellissi per [tex]$k\to -\infty$[/tex].
L'ultima curva di livello che tocca il vincolo è l'ellisse che si ottiene per [tex]$k=-8$[/tex] ed i punti d'intersezione tra la curva di livello ed il vincolo sono i punti [tex]$(0,\pm 1)$[/tex]: pertanto tali punti sono di minimo assoluto per [tex]$f$[/tex] sulla circonferenza.
Inoltre il valore di [tex]$k$[/tex] per cui si ottiene l'ultima curva di livello a toccare il vincolo dà proprio il minimo assoluto di [tex]$f$[/tex] sul vincolo: perciò si ha [tex]$\min_\Gamma f =-8$[/tex].
P.S.: Anch'io credo sia Mathematica.
Sicuro gugo?
Forse volevi scrivere [tex]$(0, \pm 1)$[/tex]
Forse volevi scrivere [tex]$(0, \pm 1)$[/tex]
Sbagliato a trascrivere i semiassi...
Mo' correggo, grazie.
P.S.: Per inciso, i punti [tex]$(\pm 1,0)$[/tex] sono di massimo.
Mo' correggo, grazie.
P.S.: Per inciso, i punti [tex]$(\pm 1,0)$[/tex] sono di massimo.
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