Minimo e massimo in X
Buongiorno! 
Assegnata la funzione
$f(x, y) = x^2 + y^2 + xy^2$
classi ficarne i relativi punti critici e determinarne gli estremi assoluti nell'insieme $X = [-1; 1]$x$[-1; 1]$.
Ho calcolato le derivate parziali e le ho imposte uguali a 0
$f_x=2x+y^2=0$
$f_y=2y+2xy=0$
e i punti critici che ho trovato sono $O(0;0),E(-1;-sqrt2),F(-1;sqrt2)$ , ma i punti $E,F$ sono da escludere in quanto esterni al dominio che è il quadrato di vertici $A(1;1),B(-1;1),C(-1;-1),D(1;-1)$
A questo punto studio la frontiera e quindi ogni lato del quadrato.
- $\bar{AB}: x in[-1;1], y=1 -> g_1=f(x,1)=x^2+x+1$
Studio quindi la derivata prima di $g_1 -> g'_1=2x+1>=0 -> x>=-1/2$
Avrò allora $min g_1(x)= -1/2$ e, considerato che $g_1(-1)=1, g_1(1)=3$, allora $max g_1(x)=-1$
E' corretto fin qui il procedimento che ho fatto per calcolare il minimo e il massimo di $g_1$? Perchè poi il ragionamento è lo stesso per altri segmenti e quindi posso continuare da sola, salvo una delucidazione che mi servirebbe riguardo il segmento $\bar{BC}$
Grazie
Assegnata la funzione
$f(x, y) = x^2 + y^2 + xy^2$
classi ficarne i relativi punti critici e determinarne gli estremi assoluti nell'insieme $X = [-1; 1]$x$[-1; 1]$.
Ho calcolato le derivate parziali e le ho imposte uguali a 0
$f_x=2x+y^2=0$
$f_y=2y+2xy=0$
e i punti critici che ho trovato sono $O(0;0),E(-1;-sqrt2),F(-1;sqrt2)$ , ma i punti $E,F$ sono da escludere in quanto esterni al dominio che è il quadrato di vertici $A(1;1),B(-1;1),C(-1;-1),D(1;-1)$
A questo punto studio la frontiera e quindi ogni lato del quadrato.
- $\bar{AB}: x in[-1;1], y=1 -> g_1=f(x,1)=x^2+x+1$
Studio quindi la derivata prima di $g_1 -> g'_1=2x+1>=0 -> x>=-1/2$
Avrò allora $min g_1(x)= -1/2$ e, considerato che $g_1(-1)=1, g_1(1)=3$, allora $max g_1(x)=-1$
E' corretto fin qui il procedimento che ho fatto per calcolare il minimo e il massimo di $g_1$? Perchè poi il ragionamento è lo stesso per altri segmenti e quindi posso continuare da sola, salvo una delucidazione che mi servirebbe riguardo il segmento $\bar{BC}$
Grazie
Risposte
Ok 
qual'è la delucidazione che ti serve?
qual'è la delucidazione che ti serve?
Visto che per $\bar{BC}: x=-1, y in [-1;1], g_2=f(-1,y)=1$, e quindi la funzione è costante, minimo e massimo coincideranno?
E aggiungo: per $\bar{AD}: x=1, y in [-1;1], g_4=f(1,y)=1+2y^2$ e $g_4(-1)=3=g_4(1)$, come devo fare? il massimo sarà $-1$ oppure $1$ visto che il valore che assume è sempre $3$?
Coincideranno per la funzione $g_2$. Per $f$ no: se applichi la definizione di punto di massimo ai punti $f(-1,y)$ trovi che esiste un intorno $U$ di tali punti tale che $\forall (x,y)\in U\cap X$ si ha che $f(-1,y)-f(x,y)\ge 0$.
"innersmile":
E aggiungo: per $\bar{AD}: x=1, y in [-1;1], g_4=f(1,y)=1+2y^2$ e $g_4(-1)=3=g_4(1)$, come devo fare? il massimo sarà $-1$ oppure $1$ visto che il valore che assume è sempre $3$?
Entrambi massimi, sia per $g_4$ che per $f$. Perchè ti pare strano?
"Plepp":
[quote="innersmile"]E aggiungo: per $\bar{AD}: x=1, y in [-1;1], g_4=f(1,y)=1+2y^2$ e $g_4(-1)=3=g_4(1)$, come devo fare? il massimo sarà $-1$ oppure $1$ visto che il valore che assume è sempre $3$?
Entrambi massimi, sia per $g_4$ che per $f$. Perchè ti pare strano?[/quote]
Avevo la convinzione sbagliata che ce ne potesse essere solo uno, ma effettivamente perchè mai dovrebbe essere così?
grazie
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