Minimo e massimo all'interno di un insieme

[gygabyte017]

Trovare il minimo e il massimo della funzione $h(x,y,z)=xyz$ all'interno dell'insieme $A={(x,y,z) in RR^3 | x^2+y^2<=1, |z|<=1}$

Ora, $A$ è un compatto, quindi per Weierstrass la funzione (che è $C^oo$ su tutto $RR^3$) assume un minimo e un massimo. Come li trovo però?
So trovare i minimi e i massimi annullando il gradiente e controllando l'hessiana:
$nablah=((yz),(xz),(xy))=0$ ma sembra che gli unici punti critici siano $(0,0,z), (0,y,0), (x,0,0)$ ma lì la funzione vale sempre $0$, ma non mi sembrano nè massimi nè minimi...

Potrei invece considerare la frontiera di $A$ come una varietà, e trovare i massimi e i minimi vincolati, ma non so se sia la strada giusta (non credo)...

Come si procede?

Grazie

[adaBTTLS1]

questo tipo di esercizio non lo faccio più da una vita, però dalle definizioni di $h$ ed $A$ si capisce che gli estremi sono nelle circonferenze delle basi del cilindro, quindi con $z=+-1$, e quindi il problema si riconduce a trovare il massimo di $|xy|$, che dovrebbe essere quando $y=+-x$. se pensi alla circonferenza goniometrica, senx*cosx è massimo a $pi/4+kpi$ ed è minimo a $-pi/4+kpi$. gli estremi dovrebbero essere $+-1/2$ in $(+-1/sqrt2, +-1/sqrt2,+-1)$ combinati opportunamente. con metodo più "classico", puoi secondo me considerare le due "frontiere" (circonferenze ${x^2+y^2=1, z=+-1}$).
spero di essere stata utile. ciao.

[ViciousGoblin]

"gygabyte017":Trovare il minimo e il massimo della funzione $h(x,y,z)=xyz$ all'interno dell'insieme $A={(x,y,z) in RR^3 | x^2+y^2<=1, |z|<=1}$

Ora, $A$ è un compatto, quindi per Weierstrass la funzione (che è $C^oo$ su tutto $RR^3$) assume un minimo e un massimo. Come li trovo però?
So trovare i minimi e i massimi annullando il gradiente e controllando l'hessiana:
$nablah=((yz),(xz),(xy))=0$ ma sembra che gli unici punti critici siano $(0,0,z), (0,y,0), (x,0,0)$ ma lì la funzione vale sempre $0$, ma non mi sembrano nè massimi nè minimi...

Potrei invece considerare la frontiera di $A$ come una varietà, e trovare i massimi e i minimi vincolati, ma non so se sia la strada giusta (non credo)...

Come si procede
Grazie

Eh si', bisogna cercare i massimi e minimi sulla frontiera (col problema che la frontiera non e' regolare, avendo lo spigolo corrispondente alle due circonferenze in cui il cilindro
$g(x,y,z):=x^2+y^2=1$ e i due piani $z=\pm1$ si inncontrano).

Vediamo un po'; i punti stazionari vincolati sul cilindro devono verificare $\nabla h(x,y,z)=\lambda\nabla g(x,y,z)$ cioe'
$yz=\lambda x$, $xz=\lambda y$, $xy=0$, $x^2+y^2=1$ da cui mi pare segua $x=0$ e $y=\pm 1$ oppure $x=\pm1$ e $y=0$ e in ogni caso $\lambda=0$ e $z$ arbitrario.
Ma questi punti li avevi gia' trovati e li' $h$ fa zero.
Per quanto riguarda i "tappi", con$z=\pm1$ si trova la condizione $\nabla h(x,y,z)=\lambda ((0),(0),(\pm1))$ da cui
$yz=0$, $xz=0$ , $xy=\pm1$ da cui di nuovo almeno una componente e' zero e quindi $h$ fa zero e anche qui non trovi nulla di nuovo.

Rimane da studiare $h(x,y,z)$ sulle circonferenze ${x^2+y^2=1,z=\pm1}$; in questo caso si puo' parametrizzare con
$x=\cos(t)$, $y=sin(t)$, $z=\pm1$ oppure studiare $\nabla h=\lambda g+\mu((0),(0),(\pm 1))$. Con questo secondo sistema si trova
$yz=\lambda x$, $xz=\lambda y$, $xy=\pm \mu$, $x^2+y^2=1$, $z=\pm1$, da cui trovi $x=\pm y$ e ...... mi pare venga quello che ha detto ada

Va beh io ci sono arrivato ora ----

[gygabyte017]

Benissimo ho capito thanks!

[adaBTTLS1]

prego.