Minimo curve sezionali, ma punto di sella

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Il mio libro di analisi propone un esercizio che mi ha un po' spiazzato... Data la funzione
\[f(x,y)=(y-x^2)(y-\frac{x^2}{2})\]
si tratta di osservare che $x=0$ è un minimo locale per tutte le funzioni $g_m(x)=f(x,mx)$ (il cui grafico direi che sia la curvatura sezionale lungo di direzione $(1,m)$), ma un punto di sella per $f$.
Ho verificato che $(0,0)$ è un minimo di $g_m(x)=(mx-x^2)(mx-x^2/2)$ per ogni $m$ e anche nella direzione dell'asse delle $y$. Questo direi che significhi che esiste un disco aperto centrato nell'origine in cui lungo qualsiasi direzione, cioè lungo qualunque retta passante per l'origine, $f(x,y) >= f(0,0)$ per ogni $(x,y)$. Quindi mi chiedo come possa essere un punto di sella, che non è né minimo né massimo per definizione... L'origine non ha forse attorno, in ogni direzione che è la direzione di ogni retta $y=mx$, solo punti in cui $f$ assume valori superiori a $f(0,0)$? Qualcuno potrebbe aiutarmi a capirne il motivo?
Mi accorgo che, lungo le parabole $y=x^2/2$ e $y=x^2$ la funzione $f$ è nulla e quindi il minimo non è stretto, ma credo che la definizione di sella escluda anche minimi e massimi non stretti...
$+oo$ grazie a tutti!!!

[DavideGenova1]

Speculor mi aveva risposto, ma per qualche motivo, che spero non sia, ma temo sia la mia imbranataggine con i tasti, il suo messaggio è andato cancellato. Mi scuso tanto, Speculor , e ti ringrazio ancor di più per la risposta!!!
Credo di aver capito: scegliendo per ogni retta $y=mx$ appartenente al fascio che passa per (0,0) un intervallo $(-x_0,x_0)$ tale che, su quell'intervallo $f(x,mx)>=f(0,0)$, non è ovviamente detto che il raggio $r=sqrt(x_0^2+m^2x_0^2)$ tale che sulla retta $y=mx$ sia relizzata l'inferiorità di $f(0,0)$ ad ogni altro $f(x,y)$ sia lo stesso per ogni retta. E fin qui c'ero. Pensavo si potesse comunque scegliere il più piccolo raggio tale che valga $f(0,0)<=f(x,y)$ su tutte le rette, però adesso comincio ad avere l'impressione che l'estremo inferiore dei valori dei raggi su ogni retta possa essere 0 ed è in questo caso che ho l'impressione si abbia un punto di sella... Giusto o sbaglio di nuovo tutto?
Grazie di cuore di nuovo!!!

[Sk_Anonymous]

Ciao DavideGenova e scusa se avevo cancellato. Avevo analizzato il tuo caso introducendo $[epsilon]$, poi mi sono accorto che era una complicazione non necessaria. In definitiva:

$[(mx-x^2)(mx-x^2/2)<0] rarr [x^2(m-x)(m-x/2)<0] rarr [(x-2m)(x-m)<0]$

$[m>0] rarr [m
$[m<0] rarr [2m
$lim_(m->0)[delta(m)]=lim_(m->0)[|m|sqrt(1+m^2)]=0$

Riporto di nuovo il link: esistenza-di-un-limite-due-variabili-t86655.html
Gli hai dato un'occhiata?

[Quinzio]

"DavideGenova":Ciao, amici!
Il mio libro di analisi propone un esercizio che mi ha un po' spiazzato... Data la funzione
\[f(x,y)=(x-y^2)(y-\frac{x^2}{2})\]
si tratta di osservare che $x=0$ è un minimo locale per tutte le funzioni $g_m(x)=f(x,mx)$ (il cui grafico direi che sia la curvatura sezionale lungo di direzione $(1,m)$), ma un punto di sella per $f$.
Ho verificato che $(0,0)$ è un minimo di $g_m(x)=(mx-x^2)(mx-x^2/2)$ per ogni $m$ e anche nella direzione dell'asse delle $y$.

Pero' sull'asse $y$, cioè $x=0$,
hai $f(0,y)=-y^3$.

Questo direi che significhi che esiste un disco aperto centrato nell'origine in cui lungo qualsiasi direzione, cioè lungo qualunque retta passante per l'origine, $f(x,y) >= f(0,0)$ per ogni $(x,y)$. Quindi mi chiedo come possa essere un punto di sella, che non è né minimo né massimo per definizione... L'origine non ha forse attorno, in ogni direzione che è la direzione di ogni retta $y=mx$, solo punti in cui $f$ assume valori superiori a $f(0,0)$? Qualcuno potrebbe aiutarmi a capirne il motivo?
Mi accorgo che, lungo le parabole $y=x^2/2$ e $y=x^2$ la funzione $f$ è nulla e quindi il minimo non è stretto, ma credo che la definizione di sella escluda anche minimi e massimi non stretti...
$+oo$ grazie a tutti!!!

[Sk_Anonymous]

Quinzio ha ragione. Quindi, l'esempio non è perfettamente calzante. A questo punto ti invito, se non l'hai già fatto, a consultare il link. In quell'esempio, il limite esisteva su ogni retta, nessuna esclusa.

[DavideGenova1]

Grazie $+oo$ a tutti e due e scusate per l'imprecisione: come ho scritto correttamente sostituendo $mx$ a $y$ ed ottenendo $g_m(x)$, l'espressione giusta della funzione è $f(x,y)=(y-x^2)(y-x^2/2)$.
@Speculor: scusa l'ignoranza che cos'è $\delta(m)=msqrt(1+m^2)$?
Grazie di cuore a tutti e due di nuovo!

[Sk_Anonymous]

Ok. Ricapitoliamo. Considerando la restrizione su ogni retta, si ha un minimo che vale zero. Mi aspetto allora di trovare su ogni retta un intorno di raggio $[delta]$ in cui la funzione sia non negativa. Andiamo a vedere quando la funzione è negativa:

$[(mx-x^2)(mx-x^2/2)<0] rarr [x^2(m-x)(m-x/2)<0] rarr [(x-2m)(x-m)<0]$

$[m>0] rarr [m
$[m<0] rarr [2m
$lim_(m->0)[delta(m)]=lim_(m->0)[|m|sqrt(1+m^2)]=0$

Il punto $P(x,mx)$ ha distanza dall'origine $[delta=|x|sqrt(1+m^2)]$. Quando $[x=m]$ allora $[delta=|m|sqrt(1+m^2)]$. Come hai notato, non puoi costruire un intorno sferico in quanto $[delta->0]$. Tra l'altro, visto che $lim_(m->0)[delta(m)]=0$, si comprende come il problema si possa presentare considerando restrizioni lungo curve tangenti all'asse delle ascisse.

[DavideGenova1]

Grazie $->+oo$!!! Questa spiegazione raggiunge veramente il $"max"$ della chiarezza e della gentilezza!

[Sk_Anonymous]

In ogni modo, anche senza analizzare il problema così nel dettaglio, dato che per $[x^2/2

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