Minimo assoluto con dominio non compatto

[thedarkhero]

Consideriamo D, sottoinsieme chiuso non compatto di $RR^n$ e $f:D->RR$ continua con $\lim_{x \to \infty}f(x)=+oo$.
Perchè f ammette sempre un minimo assoluto?
In particolare, come si traduce l'informazione che D è chiuso non compatto ai fini della dimostrazione?

[Rigel1]

Scegli un punto qualsiasi $x_0\in D$ e considera l'insieme \( K:= \{x\in D: f(x) \leq f(x_0)\} \).
Le ipotesi su $f$ e $D$ garantiscono che $K$ sia compatto (verificalo); dunque, per il teorema di Weierstrass, $f$ ammette minimo assoluto $x_1$ in $K$.
D'altra parte, se $x\in D\setminus K$, \(f(x) > f(x_0) \geq f(x_1) \), dunque $x_1$ è minimo assoluto di $f$ anche in $D$.

[DMNQ]

"thedarkhero":Consideriamo D, sottoinsieme chiuso non compatto di $RR^n$ e $f:D->RR$ continua con $\lim_{x \to \infty}f(x)=+oo$.
Perchè f ammette sempre un minimo assoluto?
In particolare, come si traduce l'informazione che D è chiuso non compatto ai fini della dimostrazione?

Ciao .
Farei in questo modo .

Prendo $ a in D $ .
So che $ \lim_(||x|| ->+infty) f(x) = +infty $ dunque esiste $ R > 0 $ tale che se $ x in D$ e $|| x || > R $ allora $ f(x) > f(a) $ .
Noto $ B(0,R) = { x in \RR^n ; ||x||<=R } $ .
E chiaro che $ a in D nn B(0,R) $ e $ D nn B(0,R) $ è un compatto $ K $ non vuoto di $ \RR^n $.
La funzionze $ f $ è continua sull compatto $ K $ e dunque $ f $ presenta un minimo $ f(x_0) $ sull'insieme $K$ .
Cosi , ho $ f(x) >= f(x_0) $ se $ x in K $ e $ f(x) > f(a) >= f(x_0) $ se $ x in D-K $ .
Finalmente , $ f(x_0) $ è il minimo di $ f(x) $ per $ x in D $ .

Spero che l'esplicazione sia corretta .