Mi verificate la correttezza di queste serie?
Salve a tutti, posto 3 esercizi svolti e vi chiedo se li ho svolti bene.L'esercizio chiede di vedere se le serie sono convergenti o meno.Grazie.
1) $ sum_(n = 1)^( oo ) (1+sin n)/n^2 <+oo $
attraverso il teorema del confronto asintotico vediamo che la funzione si comporta come $1/n^2$
Siccome $ sum_(n = 1)^( oo ) 1/n^2 $ è una serie armonica convergente allora la serie di partenza è convergente.
2) $ sum_(n = 1)^( oo )(1-1/n)^(n^2)=+oo $
ho usato il teorema del confronto,ponendo $(1-1/n)^(n^2)>1/n$ quindi essendo $ sum_(n = 1)^( oo )1/n=+oo $ allora $(1-1/n)^(n^2)>1/n$ è infinita anch'essa.Quì ho qualche dobbio.
3)$(2^n+n^4+10logn)/((2n)!+sin^2n)<+oo$ si comporta come $(2^n)/((2n)!)$.Utilizzo il criterio del rapporto e mi viene che il limite è zero che essendo minore di 1 allora la serie è convergente.
1) $ sum_(n = 1)^( oo ) (1+sin n)/n^2 <+oo $
attraverso il teorema del confronto asintotico vediamo che la funzione si comporta come $1/n^2$
Siccome $ sum_(n = 1)^( oo ) 1/n^2 $ è una serie armonica convergente allora la serie di partenza è convergente.
2) $ sum_(n = 1)^( oo )(1-1/n)^(n^2)=+oo $
ho usato il teorema del confronto,ponendo $(1-1/n)^(n^2)>1/n$ quindi essendo $ sum_(n = 1)^( oo )1/n=+oo $ allora $(1-1/n)^(n^2)>1/n$ è infinita anch'essa.Quì ho qualche dobbio.
3)$(2^n+n^4+10logn)/((2n)!+sin^2n)<+oo$ si comporta come $(2^n)/((2n)!)$.Utilizzo il criterio del rapporto e mi viene che il limite è zero che essendo minore di 1 allora la serie è convergente.
Risposte
La prima è giusta, per la seconda ti consiglio di utilizzare il criterio della radice ( $sum_(n = 1)^( oo )(1-1/n)^(n^2) = sum_(n = 1)^( oo )((1-1/n)^(n))^n$), mentre anche per la terza il procedimento è giusto (non ho controllato i calcoli ma a occhio mi sembrano giusti 
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