Mi sto perdendo in un calcolo banale
Ho un dubbio su un calcolo e non riesco a trovare il banale errore che faccio 
Dovrei calcolare $(Acos(omegat+pi/2)+2Acos(omegat-pi/2))/(3Acosomegat)$
Sfruttando la trigonometria trovo il risultato che si cerca -$1/3tgomegat$
Tuttavia per semplicità avevo pensato di sfruttare la rappresentazione complessa e poi prendere la sola aprte reale.
Ho quindi scritto $(e^(i(omegat+pi/2))+2e^(i(omegat-pi/2)))/(3e^(iomegat))$ ma in tal modo $e^(iomegat)$ mi si semplifica e mi riduco a parte rale nulla.
Mi sento stupido ma non trovo davvero l'errore
Ringrazio.
Dovrei calcolare $(Acos(omegat+pi/2)+2Acos(omegat-pi/2))/(3Acosomegat)$
Sfruttando la trigonometria trovo il risultato che si cerca -$1/3tgomegat$
Tuttavia per semplicità avevo pensato di sfruttare la rappresentazione complessa e poi prendere la sola aprte reale.
Ho quindi scritto $(e^(i(omegat+pi/2))+2e^(i(omegat-pi/2)))/(3e^(iomegat))$ ma in tal modo $e^(iomegat)$ mi si semplifica e mi riduco a parte rale nulla.
Mi sento stupido ma non trovo davvero l'errore
Ringrazio.
Risposte
Sei sicuro che la parte reale di quell'espressione sia la prima espressione?
Ma che scemo... il denominatore non è un reale. Infatti razionalizzando non torna.
Grazie
Grazie
Ciao bigodini,
Attenzione, perché più in generale mentre è vero che si ha
$\text{Re}[z_1 + z_2] = \text{Re}[z_1] + \text{Re}[z_2] $
ti invito a dimostrare (è piuttosto semplice) che si ha:
$\text{Re}[z_1 \cdot z_2] = \text{Re}[z_1]\cdot \text{Re}[z_2] - \text{Im}[z_1] \cdot \text{Im}[z_2] $
Nel caso in esame la situazione è le seguente:
$\frac{\text{Re}[z_1] + \text{Re}[z_2]}{\text{Re}[z_3]} = \frac{\text{Re}[z_1 + z_2]}{\text{Re}[z_3]} $
con ovvie definizioni di $z_1$, $z_2$ e $z_3$.
Attenzione, perché più in generale mentre è vero che si ha
$\text{Re}[z_1 + z_2] = \text{Re}[z_1] + \text{Re}[z_2] $
ti invito a dimostrare (è piuttosto semplice) che si ha:
$\text{Re}[z_1 \cdot z_2] = \text{Re}[z_1]\cdot \text{Re}[z_2] - \text{Im}[z_1] \cdot \text{Im}[z_2] $
Nel caso in esame la situazione è le seguente:
$\frac{\text{Re}[z_1] + \text{Re}[z_2]}{\text{Re}[z_3]} = \frac{\text{Re}[z_1 + z_2]}{\text{Re}[z_3]} $
con ovvie definizioni di $z_1$, $z_2$ e $z_3$.
Grazie 
Riguardo la tua domanda sfruttrei la rappresentazione algebrica: $z_1=a+ib, z_2=c+i d$
cosi:
$z_1*z_2=ac-bd+i(ad+bc)$
la parte reale è $ac-bd$
Riguardo la tua domanda sfruttrei la rappresentazione algebrica: $z_1=a+ib, z_2=c+i d$
cosi:
$z_1*z_2=ac-bd+i(ad+bc)$
la parte reale è $ac-bd$
Yes! 
Se proprio vuoi risolverlo in altro modo, puoi usare le formule di Eulero, in particolare $cos x = (e^{ix} + e^{- ix})/2 $:
$ (Acos(\omega t + \pi/2)+2Acos(\omega t - \pi/2))/(3Acos\omega t) = 1/3 \cdot (cos(\omega t + \pi/2) + 2 cos(\omega t - \pi/2))/(cos\omega t) = $
$ = 1/3 \cdot ((e^{i(\omega t + \pi/2)} + e^{- i(\omega t + \pi/2)})/2 + e^{i(\omega t - \pi/2)} + e^{- i(\omega t - \pi/2)})/((e^{i\omega t} + e^{- i\omega t})/2) = $
$ = 1/3 \cdot (e^{i(\omega t + \pi/2)} + e^{- i(\omega t + \pi/2)} + 2 e^{i(\omega t - \pi/2)} + 2 e^{- i(\omega t - \pi/2)})/(e^{i\omega t} + e^{- i\omega t}) = $
$ = 1/3 \cdot (i e^{i \omega t} - i e^{- i \omega t} - 2 i e^{i \omega t} + 2 i e^{- i \omega t})/(e^{i\omega t} + e^{- i\omega t}) = 1/3 \cdot (i (e^{- i \omega t} - e^{i \omega t}))/(e^{- i\omega t} + e^{i\omega t}) = 1/3 tan(\omega t) $
Se proprio vuoi risolverlo in altro modo, puoi usare le formule di Eulero, in particolare $cos x = (e^{ix} + e^{- ix})/2 $:
$ (Acos(\omega t + \pi/2)+2Acos(\omega t - \pi/2))/(3Acos\omega t) = 1/3 \cdot (cos(\omega t + \pi/2) + 2 cos(\omega t - \pi/2))/(cos\omega t) = $
$ = 1/3 \cdot ((e^{i(\omega t + \pi/2)} + e^{- i(\omega t + \pi/2)})/2 + e^{i(\omega t - \pi/2)} + e^{- i(\omega t - \pi/2)})/((e^{i\omega t} + e^{- i\omega t})/2) = $
$ = 1/3 \cdot (e^{i(\omega t + \pi/2)} + e^{- i(\omega t + \pi/2)} + 2 e^{i(\omega t - \pi/2)} + 2 e^{- i(\omega t - \pi/2)})/(e^{i\omega t} + e^{- i\omega t}) = $
$ = 1/3 \cdot (i e^{i \omega t} - i e^{- i \omega t} - 2 i e^{i \omega t} + 2 i e^{- i \omega t})/(e^{i\omega t} + e^{- i\omega t}) = 1/3 \cdot (i (e^{- i \omega t} - e^{i \omega t}))/(e^{- i\omega t} + e^{i\omega t}) = 1/3 tan(\omega t) $
Ho visto solo ora l'edit. Grazie per la soluzione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo