Mi spieghereste questo passaggio?

[ilyily87]

sarà anche semplice ma non riesco a capirlo:
devo dimostrare che $\lim_{x\to+\infty}(a_nb_n)=ab$

il libro dice
per ogni $n>nu => nu= max {nu_1, nu_2}$ si ottiene
$|a_nb_n - ab|<=|a_n b_n - a_n b+a_nb-ab|
mi spieghereste ogni singolo passaggio x favore?
grazie

[amel3]

Non ho capito se è il libro che ha un errore di stampa o tu che hai dimenticato di digitare un -, comunque i passaggi dovrebbero essere così:
$|a_nb_n-ab|=|a_nb_n-a_nb+a_nb-ab|<=|a_nb_n-a_nb|+|a_nb-ab|=|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|<=Mepsilon+|b|epsilon$
L'ultima disuguaglianza si ha perchè una successione che ha limite finito è limitata, cioè:
$|a_n|<=M$
Se non mi sono spiegato bene richiedi pure spiegazioni... Ciao!

[ilyily87]

amel ti ringrazio...ma ancora non riesco a capire il secondo termne della disuguaglianza...
perchè $<= Mepsilon+|b|epsilon$ ??
capisco la M per $|a_n|<=M$
ma perchè $|b|$?

[ilyily87]

a e poi...perchè in questo modo è dimostrata???

[amel3]

Perchè $|b||a_n-a|<=|b|epsilon$

Così la definizione di limite è verificata: per ogni $epsilon>0$ esiste $v(epsilon)$ dipendente da $epsilon$ per cui
$|a_nb_n-ab|<=Mepsilon+|b|epsilon$ per ogni $n>v(epsilon)$
Il fatto che ci sia $epsilon$ o $Mepsilon+|b|epsilon$ è la stessa cosa per l'arbitrarietà di $epsilon$...
Forse però non sono stato chiarissimo... Comunque posso rispiegare... Ciao.

[ilyily87]

ok grazie