Mi spieghereste questo limite?

[visind]

Salve ragazzi, stavo osservando questo limite di cui non riesco a identificarne esattamente il comportamento

$\lim_{n \to \infty}1/(3+sin(4n))^n$

Ecco, l'esercizio ho visto che da risultato 0, e si potrebbe tranquillamente confermare se non erro, perchè comunque essendo che $sin(4n)$ per qualsiasi $n$ oscilla tra $-1$ e $+1$ non è rilevante ai fini di 3 che è esponenzialmente (con $n$ all'esponente) più grande. Però non riesco a capire come semplificare l'esercizio. Nel senso, li ho un'ennesima di un binomio e rimango bloccato.
Potreste aiutarmi?
Grazie

[Zero87]

Allora... Se non erro

[tex]\frac{1}{(3+\sin (4n))^n}[/tex] quando lo sviluppi come un binomio viene una cosa del tipo (scrivo solo il denominatore)

[tex]3^n+ n3^{n-1}\sin (4n) + \frac{n(n-1)}{2} 3^{n-2}(\sin (4n))^2+ ... + \frac{n(n-1)}{2} 3^2 (\sin(4n))^{n-2}+ n3(\sin(4n)^{n-1})+(\sin (4n))^n[/tex]

il punto è (sperando che non ho sbagliato a scrivere i coefficienti binomiali) che tutta quella espressione si riduce ad un [tex]O(3^n)[/tex] ed il limite tende a zero.

In altre parole, come hai detto, il seno è una quantità limitata ed è l'esponenziale a caratterizzare il comportamento del limite.

[visind]

Ah bene, quindi quello è lo svolgimento di un'ennesima di un binomio. Quindi come avevo detto io era giusto.
Ti ringrazio Zero87!

[Zero87]

Di nulla...

P.S. Io non so se questo è il procedimento "rigoroso" per provare che il limite è quello, ma mi baso sul fatto che metà delle dimostrazioni del corso di analisi numerica si basano sullo stesso procedimento...

[visind]

Ne approfitto, per chiedervi un aiuto su un altro limite

Dunque, questo limite dovrebbe ridare $-infty$

$\lim_{x \to \infty}((x^2 +2)/(x^2-1))^((2x+1)^2 - ln(x))$

Invece a me da come risultato $+infty$



Applico il limite notevole eppure non vedo come possa dare tale risultato

[Seneca1]

Derive dice che quel limite è $e^12$. Perché dovrebbe dare $-oo$?

[Paolo902]

Ah, allora non sono il solo a cui viene un risultato diverso...

[visind]

Giusto per non aprire un un altro post inserisco un limite che non risulta


$\lim_{x \to \infty}(e^(sin(x)/x) + ln(x))/ (x+x^-2 + x^2 * sin(1/x)$

Dunque io opero così

$e^(sin(x)/x)$ tende a $1$ sapendo che $sin(x)/x$ tende a $0$.

Al denominatore posso applicare il limite notevole a $sin(1/x)$ visto che l'argomento del seno tende a $0$

Quindi alla fine avrò

$\lim_{x \to \infty}(1+ln(x))/(2x+1/x^2)$ dove $1/x^2$ tende a $0$ e quindi $\lim_{x \to \infty}(1+ln(x))/(2x) = 0$

E' giusto secondo voi? Perchè il libro mi dice che il risultato corrisponde a $infty$

[Seneca1]

"visind":

Al denominatore posso applicare il limite notevole a $sin(1/x)$ visto che l'argomento del seno tende a $0$

Quindi alla fine avrò

$\lim_{x \to \infty}(1+ln(x))/(2x+1/x^2)$ dove $1/x^2$ tende a $0$ e quindi $\lim_{x \to \infty}(1+ln(x))/(2x) = 0$

Puoi spiegare meglio cosa hai scritto qui?

[visind]

Intendo che ho applicato il limite notevole $sin(x)/x = 1$
Quindi dividere e moltiplicare per l'argomento del seno stesso affinchè si possa applicare il limite fa sì che rimanga solo $1/x$

[visind]

"Seneca":Derive dice che quel limite è $e^12$. Perché dovrebbe dare $-oo$?

Lo sto provando da ore...come fa a risultare $e^12$?

[Seneca1]

"visind":Giusto per non aprire un un altro post inserisco un limite che non risulta


$\lim_{x \to \infty}(e^(sin(x)/x) + ln(x))/ (x+x^-2 + x^2 * sin(1/x)$

Dunque io opero così

$e^(sin(x)/x)$ tende a $1$ sapendo che $sin(x)/x$ tende a $0$.

Al denominatore posso applicare il limite notevole a $sin(1/x)$ visto che l'argomento del seno tende a $0$

Quindi alla fine avrò

$\lim_{x \to \infty}(1+ln(x))/(2x+1/x^2)$ dove $1/x^2$ tende a $0$ e quindi $\lim_{x \to \infty}(1+ln(x))/(2x) = 0$

E' giusto secondo voi? Perchè il libro mi dice che il risultato corrisponde a $infty$

Credo che tu stia facendo delle operazioni che nel calcolo dei limiti non si possono fare... Non puoi, sotto il segno di limite, far sparire dei termini infinitesimi.

E, inoltre, quel $2x$ al denominatore...?

[visind]

Dunque procediamo per passi:

$\lim_{x \to \infty}(e^(sin(x)/x) + ln(x))/ (x+2^-x + x^2 * sin(1/x)$

Avremo
$e^(sin(x)/x)$ tende a $1$ sapendo che $sin(x)/x$ tende a $0$.

Mentre al denominatore applichiamo il limite notevole $\lim_{x \to \0} sin(x)/x = 1

E quindi avremo

$\lim_{x \to \infty} (1 + ln(x))/ (x+2^-x + x^2 * (sin(1/x)/(1/x)) * 1/x$

cioè $\lim_{x \to \infty} (1 + ln(x))/ (x+2^-x + x^2 * 1/x)$

Semplifichiamo $x^2$ con $1/x$ e avremo

$\lim_{x \to \infty} (1 + ln(x))/ (x+2^-x +x)

cioè

$\lim_{x \to \infty} (1 + ln(x))/ (2x+2^-x)

Dopodichè non so cosa fare...

[Seneca1]

"visind":Dunque procediamo per passi:

$\lim_{x \to \infty}(e^(sin(x)/x) + ln(x))/ (x+2^-x + x^2 * sin(1/x)$

Avremo
$e^(sin(x)/x)$ tende a $1$ sapendo che $sin(x)/x$ tende a $0$.

Mentre al denominatore applichiamo il limite notevole $\lim_{x \to \0} sin(x)/x = 1

E quindi avremo

$\lim_{x \to \infty} (1 + ln(x))/ (x+2^-x + x^2 * (sin(1/x)/(1/x)) * 1/x$

cioè $\lim_{x \to \infty} (1 + ln(x))/ (x+2^-x + x^2 * 1/x)$

Semplifichiamo $x^2$ con $1/x$ e avremo

$\lim_{x \to \infty} (1 + ln(x))/ (x+2^-x +x)

cioè

$\lim_{x \to \infty} (1 + ln(x))/ (2x+x^-2)

Dopodichè non so cosa fare...

$\lim_{x \to \infty}(1 + o(1) + ln(x))/ (x+x^(-2) + x + o(x))$

Poiché $x * sin(1/x)/(1/x) sim x$, $e^(sin(x)/x) sim 1$ per $x -> oo$.

$x^(-2) = o(x)$ per $x -> oo$; quindi:

$\lim_{x \to \infty}(1 + o(1) + ln(x))/ (2 x + o(x))$

$\lim_{x \to \infty}(ln(x))/ (2x) = 0$


Il limite che avevi postato precedentemente era $e^(12)$.

[visind]

Questo limite $\lim_{x \to \infty}(e^(sin(x)/x) + ln(x))/ (x+x^-2 + x^2 * sin(1/x)$ secondo il libro risulta $1/2$

[Seneca1]

"visind":Questo limite $\lim_{x \to \infty}(e^(sin(x)/x) + ln(x))/ (x+x^-2 + x^2 * sin(1/x)$ secondo il libro risulta $1/2$

Secondo me (e secondo Derive) vale $0$.