Mi sfugge un passaggio nella risoluzione di questo limite.

[Maturando]

Come da titolo, ho il seguente limite da risolvere:

$\lim_{n \to \infty}((n^3-1)/(n^3+1))^(n^3).$

So che va ricondotto al limite notevole famoso che vale e, però non riesco a capire i passaggi opportuni da fare. Cioè scrivo l'argomento come:

$\lim_{n \to \infty}(n^3-1)/(n^3+1)-1/(n^3+1)$ e poi dovrei aggiungere 2 e sotrrarre 2 per avere 1 al primo membro...ma al secondo membro dovrebbe venir fuori 2 al numeratore, mentre in tal modo viene +1...

[Seneca1]

$\lim_{n \to \infty}((n^3-1 + 2 - 2)/(n^3+1))^(n^3) = \lim_{n \to \infty}((n^3 + 1)/(n^3 + 1) - (2)/(n^3+1))^(n^3)$

Era qui il tuo problema?

[Maturando]

Esatto, grazie. Quindi prima si aggiunge e poi si spezza...

[antonyo84]

come riconduco quello che abbiamo ottenuto ad un limite notevole?

[Relegal]

"antonyo84":come riconduco quello che abbiamo ottenuto ad un limite notevole?

Trattandosi di una forma di indeterminazione del tipo $1^(oo)$ io avrei scritto $((n^3-1)/(n^3+1))^(n^3)$ come
$e^log(((n^3-1)/(n^3+1))^(n^3))$.

[Maturando]

"antonyo84":come riconduco quello che abbiamo ottenuto ad un limite notevole?

Allora, il limite notevole in questione è:

C (1+x/(an))^(an)=e^x$

Nel nostro caso:

$\lim_{n \to \infty}(1-2/(n^3+1))^(n^3)$ , può essere scritto come:

$\lim_{n \to \infty}((1-2/(n^3+1))^(n^3+1))^(n^3/(n^3+1)) $ che risulta essere pari a $\e^-2$, ovvero a $\(1/e^2)$

Ciao