Mi potreste fornire alcune dimostrazioni per favore?
Qualcuno di voi, avrebbe le dimostrazioni di questi tre teoremi?
Disuguaglianza di Young.
Relazione tra derivabilità e differenziabilità in R^2.
Condizione necessaria e sufficiente per la continuità in R^2.
Purtroppo mi mancano...e non riesco a trovare in internet cose utili....e ho l'orale trap ochi giorni..
Grazie.
Disuguaglianza di Young.
Relazione tra derivabilità e differenziabilità in R^2.
Condizione necessaria e sufficiente per la continuità in R^2.
Purtroppo mi mancano...e non riesco a trovare in internet cose utili....e ho l'orale trap ochi giorni..
Grazie.
Risposte
http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Young
qui è spiegata in modo semplice.
La seconda è il teorema secondo cui una funzione di classe $C^1$ in un aperto è differenziabile nello stesso. Sul libro di analisi c'è di sicuro.
La terza non saprei che cosa è. Probabilmente l'equivalenza
$f$ è continua $iff$ per ogni $x$ nel dominio di $f$ e di accumulazione per lo stesso si ha $lim_{y\to x}f(y)=f(x)$.
qui è spiegata in modo semplice.
La seconda è il teorema secondo cui una funzione di classe $C^1$ in un aperto è differenziabile nello stesso. Sul libro di analisi c'è di sicuro.
La terza non saprei che cosa è. Probabilmente l'equivalenza
$f$ è continua $iff$ per ogni $x$ nel dominio di $f$ e di accumulazione per lo stesso si ha $lim_{y\to x}f(y)=f(x)$.
Mh...per la disuguaglianza di Young, si deve dimostrare per forza con una funzione come fa lui?
Utilizza [tex]e^x[/tex]
Non si può dimostrare in modo generico, e non relativamente ad una funzione?
Utilizza [tex]e^x[/tex]
Non si può dimostrare in modo generico, e non relativamente ad una funzione?
"Darèios89":
Mh...per la disuguaglianza di Young, si deve dimostrare per forza con una funzione come fa lui?
Utilizza [tex]e^x[/tex]
Non si può dimostrare in modo generico, e non relativamente ad una funzione?
Ti invito a rileggere (oltre alla dimostrazione) anche l'enunciato del teorema: vedi delle funzioni coinvolte nella disuguaglianza? Che significa "dimostrare in modo generico e non relativamente ad una funzione"?
La dimostrazione l'ho letta, lui dice, "Sappiamo che la funzione [tex]e^x[/tex] è convessa".
Ma si deve fare per forza così la dimostrazione? utilizzando quella funzione? E non dimostrando la disuguaglianza senza ricorrere ad una funzione ben precisa?
Quanto alla seconda, l'ho trovata sul marcellini, ma non è dimostrata.........
Però mi sono accorto che è indicata nel programma come relazione tra derivabilità e differenziabilità in R....non R^2.
Ma si deve fare per forza così la dimostrazione? utilizzando quella funzione? E non dimostrando la disuguaglianza senza ricorrere ad una funzione ben precisa?
Quanto alla seconda, l'ho trovata sul marcellini, ma non è dimostrata.........
Però mi sono accorto che è indicata nel programma come relazione tra derivabilità e differenziabilità in R....non R^2.
"Darèios89":
Però mi sono accorto che è indicata nel programma come relazione tra derivabilità e differenziabilità in R....non R^2.
Darèios89 in [tex]$R$[/tex], quindi per funzioni dipendenti solo da una variabile reale, i concetti di derivabilità e differenziabilità coincidono, tant'è che vengono considerati sinonimi.
E' solo in [tex]$R^2$[/tex], [tex]$R^3$[/tex] ecc. che ci si rende conto della differenza tra i due concetti.
Ok....la disuguaglianza di young va bene.
Ma mi potreste(sapreste) dimostrare questi ultimi due teoremi?
Non so dove trovarli...
Ma mi potreste(sapreste) dimostrare questi ultimi due teoremi?
Non so dove trovarli...
forse per il secondo teorema intendi relazione differenziabilità-> continuità
No il secondo è la relazione tra differenziabilità e derivabilità in R. Cioè il fatto che il concetto di differenziabilità in R coincide con quello di derivabilità....
Mentre quando all'ultimo mi è stato detto che è il teorema che dice:
f continua in P0 ===> lim deltaF = 0
(h, k) ->(0, 0)
Ma non so cosa sia...e non lo riesco a trovare..
Mentre quando all'ultimo mi è stato detto che è il teorema che dice:
f continua in P0 ===> lim deltaF = 0
(h, k) ->(0, 0)
Ma non so cosa sia...e non lo riesco a trovare..
"Darèios89":
No il secondo è la relazione tra differenziabilità e derivabilità in R. Cioè il fatto che il concetto di differenziabilità in R coincide con quello di derivabilità...
Sono sicuro che tu lo possa trovare su un qualsiasi testo di analisi. Ad ogni modo, un po' di ripasso non fa mai male.
Definizione. Sia $A subseteq RR$ un aperto e $x_0 in A$. $f:A to RR$ si dice differenziabile in $x_0$ sse $EE lambda in RR$ t.c.
[tex]\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-\lambda(x-x_0)}{x-x_0} = 0[/tex].
Ok fin qui? Sussiste adesso la seguente
Proprietà. Sia $A subseteq RR$ un aperto, $x_0 in A$ e $f:A to RR$ una funzione reale di una variabile reale. Allora $f(x)$ è differenziabile in $x_0$ se e solo se $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Dimostrazione. $=>$ Sia $f$ differenziabile in $x_0$ cioè supponiamo che esista $lambda$ reale tale che
[tex]\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-\lambda(x-x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\lim_{x \to x_0}\frac{\lambda(x-x_0)}{x-x_0} = 0[/tex]
Semplificando il fattore $(x-x_0)$ nel secondo addendo si trova [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-\lambda = 0[/tex] cioè $f'(x_0)=\lambda in \mathbb{R}$.
$ lArr $ Sia ora $f$ derivabile in $x_0$: ciò significa che il limite del rapporto incrementale è un numero reale: [tex]\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \in \mathbb{R}[/tex]. E' immediato a questo punto (e lo lascio a te come semplice verifica) vedere che $f$ è differenziabile in $x_0$ (che $lambda$ prenderai?).[tex]\square[/tex]
Hai capito? Se hai dubbi chiedi.
Emh..un pò di perplessità...ho sempre usato la notazione di differenziabilità per le funzioni di due variabili...cioè questa:
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0) }\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Per le funzioni di una sola variabile non la conoscevo....ma al posto di lambda non si può usare una formula simile a quella sopra?
Altrimenti......per cosa sta lambda?
Sul teorema inverso...non è che io sappia dimostrare bene teoremi da solo però....
Non so ma non mi pare giusto....quello che penso io, non so farlo....però ho pensato che devo dimostrare...che se è derivabile è differenziabile...quindi:
[tex]\lim_{x->0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)-\lambda(x-x_0)}{x-x_0}[/tex]
Cioè avrei che la prima è uguale a [tex]1-\lambda(x-x_0)[/tex]
[tex]1-\lambda(x-x_0)=0[/tex]
[tex]\lambda=\frac{1}{x-x_0}[/tex]
Sono dubbioso...però...non lo so, è dimostrato che è differenziabile?
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0) }\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Per le funzioni di una sola variabile non la conoscevo....ma al posto di lambda non si può usare una formula simile a quella sopra?
Altrimenti......per cosa sta lambda?
Sul teorema inverso...non è che io sappia dimostrare bene teoremi da solo però....
Non so ma non mi pare giusto....quello che penso io, non so farlo....però ho pensato che devo dimostrare...che se è derivabile è differenziabile...quindi:
[tex]\lim_{x->0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)-\lambda(x-x_0)}{x-x_0}[/tex]
Cioè avrei che la prima è uguale a [tex]1-\lambda(x-x_0)[/tex]
[tex]1-\lambda(x-x_0)=0[/tex]
[tex]\lambda=\frac{1}{x-x_0}[/tex]
Sono dubbioso...però...non lo so, è dimostrato che è differenziabile?
cerca teorema del differenziale
f derivabile in A aperto di $R^2$
$f_x , f_y $continue nel punto (x,y)
f è differenziabile in (x,y)
questo teorema esiste anche per funzioni di una variabile ma alla fine sarebbe taylor (mi sembra)
f derivabile in A aperto di $R^2$
$f_x , f_y $continue nel punto (x,y)
f è differenziabile in (x,y)
questo teorema esiste anche per funzioni di una variabile ma alla fine sarebbe taylor (mi sembra)
@anticristo: Se una cosa ti "sembra" soltanto, evita di dirla, altrimenti confondi chi ti legge. Per funzioni di una variabile la derivabilità equivale alla differenziabilità, punto.
Si comunque ho beccato un mio collega per caso e mi ha fornito la dimostrazione.....grazie mille 
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